Deret Aritmatika: Suku vs Penjumlahan

Suku vs Deret

Makna "menghasilkan" pada deret merujuk pada hasil total penjumlahannya ($S_n$), bukan wujud angka satu per satu pada barisan tersebut ($U_n$).

Bayangkan kamu sedang menabung koin emas harian. Suku ($U_n$) diibaratkan seperti jumlah koin yang kamu masukkan ke celengan pada satu hari spesifik. Sementara itu, deret ($S_n$) diibaratkan total akumulasi seluruh koin yang ada di dalam celengan setelah $n$ hari. Pertanyaan soal menuntut agar isi celengan secara keseluruhan selalu berupa bilangan kuadrat sempurna, bukan sekadar kepingan yang disetor hari itu.

Melihat deret pada Opsi C ($1 + 4 + 9 + 16 + 25 + \dots$), angka-angka penyusunnya memang bilangan kuadrat ($1^2, 2^2, 3^2, 4^2$). Namun, angka-angka itu hanyalah nilai suku individual ($U_n$). Jika kita kumpulkan total penjumlahannya ($S_n$):

• Hari ke-1: $S_1 = 1 = 1$

• Hari ke-2: $S_2 = 1 + 4 = 5$

• Hari ke-3: $S_3 = 1 + 4 + 9 = 14$

Total koin yang terkumpul ($1, 5, 14$) jelas bukan bilangan kuadrat sempurna ($5$ dan $14$ bukan hasil kuadrat dari bilangan bulat). Karena yang dicari adalah hasil jumlahnya, Opsi C langsung gugur dari kriteria.

Syarat Mutlak Aritmatika

Sebuah barisan hanya bisa disebut deret aritmatika jika beda ($b$) antar sukunya selalu bernilai tetap.

Kembali ke analogi koin emas kita: jika celengan itu memakai aturan barisan aritmatika, pertambahan setoran harian dari satu hari ke hari berikutnya tidak boleh melompat-lompat sesuka hati. Selisih antara dua suku yang berurutan wajib memenuhi hubungan $b = U_n - U_{n-1}$ dengan nilai yang sama di setiap langkah.

Mari kita periksa kembali Opsi C ($1 + 4 + 9 + 16 + \dots$):

• Selisih suku ke-2 dan suku ke-1: $4 - 1 = 3$

• Selisih suku ke-3 dan suku ke-2: $9 - 4 = 5$

Karena selisihnya melompat dari $3$ ke $5$, barisan ini tidak memiliki nilai beda yang konstan, sehingga Opsi C gugur dua kali: bukan deret aritmatika dan tidak menghasilkan kuadrat.

Bagaimana dengan opsi lainnya?

• Opsi B ($1 + 3 + 5 + 7 + \dots$) memiliki $b = 3 - 1 = 2$ (tetap).

• Opsi D ($1 + 5 + 9 + 13 + \dots$) memiliki $b = 5 - 1 = 4$ (tetap).

• Opsi E ($1 + 10 + 19 + 28 + \dots$) memiliki $b = 10 - 1 = 9$ (tetap).

Ketiga opsi ini berhasil melewati filter pertama karena sah berstatus deret aritmatika.

Membongkar Mesin Aljabar $S_n$

Rumus jumlah deret aritmatika $S_n$ dirakit dari perkalian jumlah suku dengan rata-rata nilai suku awal dan suku akhir.

Setelah opsi yang tersisa disaring hanya yang memiliki beda tetap, saatnya kita menyiapkan "mesin" untuk menghitung akumulasi total koin tanpa repot menjumlahkan satu per satu secara manual.

Secara umum, jumlah $n$ suku pertama dari barisan aritmatika dirumuskan dari rata-rata suku pertama ($a$) dan suku terakhir ($U_n$):

$$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$$

Namun, nilai suku terakhir ($U_n$) sendiri dibentuk dari suku awal yang terus ditambah beda ($b$) sebanyak $(n - 1)$ kali lompatan:

$$U_n = a + (n - 1)b$$

Sekarang, kita ganti komponen $U_n$ di dalam rumus $S_n$ dengan bentuk uraian tersebut:

$$S_n = \frac{n}{2}\Big(a + \big[a + (n - 1)b\big]\Big)$$

Satukan kedua suku $a$ di dalam kurung siku ($a + a = 2a$):

$$S_n = \frac{n}{2}\big(2a + (n - 1)b\big)$$

Bentuk aljabar inilah yang menjadi alat uji utama kita. Kita tinggal menyuplai nilai suku awal ($a$) dan nilai beda ($b$) dari masing-masing opsi untuk melihat bentuk ekspresi akhirnya.