Simetri Barisan & Keajaiban Suku Tengah

Bukan Sekadar Angka Acak

Halo! Sebelum kita membedah soal tadi, kita perlu meluruskan satu hal penting.

Kamu mungkin berpikir kalau barisan aritmetika itu seperti sekumpulan nilai acak (misalnya $70, 85, 60$) yang kalau dihitung punya nilai rata-rata tertentu. Kalau kita menggunakan pola pikir statistik dasar ini, pengerjaan soal tadi pasti terasa sangat rumit!

Padahal, barisan aritmetika sama sekali bukan angka acak. Bayangkan sebuah anak tangga.

Sebuah barisan baru bisa disebut barisan aritmetika kalau jarak (beda) antar angkanya selalu konstan atau sama persis. Kalau anak tangga pertama tingginya $2$, lalu naik ke $4$, maka jarak pijakannya adalah $+2$. Pijakan berikutnya wajib naik $+2$ lagi menjadi $6, 8$, dan seterusnya. Gak boleh tiba-tiba jarak pijakannya jadi $+5$ atau $-1$.

Sekarang, coba uji pemahaman barumu!

Eksperimen Menyisipkan Rata-rata

Di soal, ada kalimat "disisipkan rata-rata kedua suku tersebut". Apa sih efeknya ke barisan anak tangga kita?

Mari kita lakukan eksperimen sederhana dengan 3 anak tangga kita tadi: $2, 4, 6$. Jarak aslinya adalah $+2$.

Sekarang, kita sisipkan nilai rata-rata persis di antara angka-angka tersebut:

• Rata-rata antara $2$ dan $4$ adalah $\frac{2 + 4}{2} = 3$

• Rata-rata antara $4$ dan $6$ adalah $\frac{4 + 6}{2} = 5$

Barisan kita yang baru menjadi: $2, 3, 4, 5, 6$.

Perhatikan apa yang terjadi! Barisan ini tetap berupa barisan aritmetika, tapi sekarang lompatannya menjadi cuma $+1$.

Uji lagi intuisimu di kasus berbeda:

Dari 3 Angka Menjadi 7 Angka

Sekarang kita bawa analogi eksperimen barusan ke soal aslinya. Soal bilang kita punya $7$ bilangan. Lalu di setiap dua suku berurutan disisipkan rata-ratanya.

Berapa banyak angka yang sebenarnya kita masukkan?

Bayangkan $7$ angka itu sebagai $7$ buah kotak yang berjejer. Sisipan ini hanya bisa masuk ke "celah" yang ada di antara kotak-kotak tersebut.

Kalau ada $7$ kotak utama, celah di antara mereka cuma ada $6$ (coba perhatikan jari tanganmu: ada $5$ jari, tapi celahnya cuma $4$, kan?).

Artinya, kita menyisipkan tepat $6$ angka baru. Total angka di barisan yang baru sekarang adalah: $7 \text{ (angka asli)} + 6 \text{ (angka sisipan)} = 13 \text{ angka total}$

Barisan baru kita sekarang adalah sebuah barisan aritmetika utuh yang panjangnya $13$ suku!