Menghitung Lintasan Total Bola Memantul
Mengingat Deret Tak Hingga
Rumus jumlah Deret Geometri Tak Hingga dapat dipakai untuk menjumlahkan barisan yang angkanya terus mengecil secara konsisten.
Bayangkan seutas tali sepanjang $10\text{ meter}$ yang dipotong setengahnya ($5\text{ meter}$), lalu sisa potongan itu dipotong setengahnya lagi ($2{,}5\text{ meter}$), dan proses ini diteruskan tanpa henti. Deretan potongan ini membentuk pola perkalian tetap yang makin lama makin mendekati nol.
Panjang total potongan tali tersebut tidak akan membesar tanpa batas, melainkan tertahan di sebuah garis batas tertentu. Angka batas ini dihitung dengan rumus jumlah deret tak hingga ($S_\infty$):
$$S_\infty = \frac{a}{1 - r}$$
Komponen rumus ini terdiri dari dua bagian utama:
Suku Pertama ($a$): Nilai awal dari barisan yang dijumlahkan (misalnya panjang potongan pertama, $a = 10$).
Rasio ($r$): Bilangan pengali tetap antar suku yang berurutan.
Selama nilai Rasio ($r$) berupa pecahan biasa di antara $-1$ dan $1$ (seperti $\frac{1}{2}$ atau $\frac{4}{5}$), suku-sukunya akan terus menyusut. Hasil penjumlahannya akan mengumpul rapi menuju satu nilai batas yang terhingga.
Terdapat sebuah deret geometri yang suku pertamanya bernilai 15 dan suku berikutnya selalu dikalikan 2/3. Berapakah jumlah tak hingga dari deret tersebut?
- 15
- 22,5
- 45
- 75
Jawaban: 45
Dengan Suku Pertama a = 15 dan Rasio r = 2/3, jumlah deret dihitung menggunakan S = a / (1 - r) = 15 / (1 - 2/3) = 15 / (1/3) = 15 x 3 = 45. Opsi A keliru karena hanya melihat suku awal, opsi B salah membagi rasio, dan opsi D keliru dalam operasi pecahan.
Menggunakan rumus deret geometri tak hingga pada barisan bilangan acak.
Turun Dulu, Baru Naik
Total perjalanan bola memantul umumnya terdiri dari satu gerak turun awal dan serangkaian gerak sepasang bolak-balik (naik-turun).
Ibarat rute perjalanan, bola yang dilepas dari ketinggian $20\text{ meter}$ awalnya melakukan perjalanan satu arah: meluncur turun dari atas ke tanah. Setelah menyentuh tanah, barulah terjadi rute bolak-balik: bola memantul naik setinggi $16\text{ meter}$ ($\frac{4}{5}$ dari $20\text{ meter}$), lalu harus turun lagi sejauh $16\text{ meter}$ sebelum menyentuh tanah berikutnya.
Coba perhatikan pola panah pada simulasi di atas. Panah Jatuh Pertama berdiri sendiri tanpa pasangan, sedangkan gerakan setelahnya selalu terjadi berpasangan: satu kali Pantulan Naik diikuti satu kali Pantulan Turun dengan tinggi yang sama.
Sebuah kelereng dijatuhkan dari meja dan memantul di lantai. Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut:
- Jarak kelereng saat pantulan pertama ke atas persis sama dengan jarak jatuh pertamanya dari meja. — Salah
- Setelah memantul pertama kali ke atas, jarak kelereng saat turun untuk kedua kalinya sama dengan jarak pantulan naiknya yang pertama. — Benar
Pernyataan 1 Salah karena pantulan pertama ke atas telah berkurang oleh rasio pantulan sehingga tingginya lebih rendah dari ketinggian awal jatuh. Pernyataan 2 Benar karena setiap kali bola naik mencapai titik puncak pantulannya, bola akan jatuh turun kembali dengan jarak yang persis sama sebelum memantul lagi.
Membedakan komponen awal jatuh dan komponen pantulan pada benda.
Menghitung Total dengan Benar
Menghitung total lintasan dilakukan dengan menjumlahkan deret gerak turun dan deret gerak naik.
Karena gerak bola terbagi menjadi dua arah yang saling bergantian, kita dapat menghitung masing-masing deret secara terpisah:
Total Lintasan Turun: Dimulai dari ketinggian awal saat bola pertama kali dilepas ($a = 20\text{ meter}$), dengan rasio $r = \frac{4}{5}$.
$$S_{\text{turun}} = \frac{20}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{20}{\frac{1}{5}} = 100\text{ meter}$$
Total Lintasan Naik: Dimulai saat bola memantul ke atas untuk pertama kali ($a = 20 \times \frac{4}{5} = 16\text{ meter}$), dengan rasio yang sama $r = \frac{4}{5}$.
$$S_{\text{naik}} = \frac{16}{1 - \frac{4}{5}} = \frac{16}{\frac{1}{5}} = 80\text{ meter}$$
Jika kita hanya menghitung lintasan naik sebesar $80\text{ meter}$, kita akan terjebak pada Opsi A. Kesalahan lain seperti menjumlahkan tinggi awal ($20\text{ meter}$) dengan deret turun ($100\text{ meter}$) menghasilkan $120\text{ meter}$ pada Opsi C.
Untuk memperoleh total jarak yang ditempuh hingga bola berhenti, gabungkan kedua komponen lintasan tersebut:
$$\text{Total Seluruh Lintasan} = S_{\text{turun}} + S_{\text{naik}} = 100\text{ meter} + 80\text{ meter} = 180\text{ meter}$$
Hasil $180\text{ meter}$ inilah yang menjadi jawaban tepat pada Opsi E.
Sebuah benda dijatuhkan dari ketinggian 10 m dan setiap memantul ke atas tingginya mencapai 1/2 dari tinggi sebelumnya. Berapakah total panjang lintasan benda HANYA pada saat benda bergerak naik (ke atas)?
- 5 m
- 10 m
- 20 m
- 30 m
Jawaban: 10 m
Benda dijatuhkan dari 10 m, sehingga pantulan pertama ke atas (Suku Pertama gerak naik) bernilai a = 10 x (1/2) = 5 m. Dengan rasio r = 1/2, total lintasan saat naik saja adalah S_naik = a / (1 - r) = 5 / (1 - 1/2) = 5 / (0,5) = 10 m. Opsi A hanya tinggi pantulan pertama, opsi C adalah total lintasan turun, dan opsi D adalah total seluruh lintasan naik dan turun.
Menghitung komponen naik pada kasus benda jatuh memantul.