Barisan Aritmatika: Aljabar dan Grafik Linear

Pembuktian Aljabar Suku Pengapit

Definisi bahwa setiap suku adalah rata-rata dari dua suku pengapitnya secara matematis ekuivalen dengan selisih antarsuku yang bernilai konstan. Bayangkan kamu sedang menaiki anak tangga: jika tinggi pijakan setiap anak tangga selalu berada tepat di tengah-tengah tinggi anak tangga sebelum dan sesudahnya, maka kenaikan tiap anak tangga dari bawah ke atas memiliki ukuran yang sama persis.

Kita dapat membuktikannya secara formal lewat bentuk aljabar. Misalkan barisan tersebut memiliki suku-suku $U_1, U_2, \dots, U_n$. Untuk sembarang suku $U_n$ (dengan $1 < n$), pernyataan bahwa suku tersebut adalah rata-rata dari dua suku pengapitnya ($U_{n-1}$ dan $U_{n+1}$) dapat dituliskan sebagai:

$$U_n = \frac{U_{n-1} + U_{n+1}}{2}$$

Jika kedua ruas kita kalikan dengan $2$, kita memperoleh:

$$2U_n = U_{n-1} + U_{n+1}$$

Pecah $2U_n$ menjadi $U_n + U_n$, lalu pindahkan suku-suku pengapit ke ruas yang berlawanan:

$$U_n + U_n = U_{n-1} + U_{n+1}$$

$$U_n - U_{n-1} = U_{n+1} - U_n$$

Persamaan di atas menunjukkan bahwa selisih antara suku sekarang dengan suku sebelumnya ($U_n - U_{n-1}$) sama persis dengan selisih antara suku berikutnya dengan suku sekarang ($U_{n+1} - U_n$). Karena relasi ini berlaku untuk setiap suku di sepanjang barisan, selisih tetap tersebut adalah beda ($b$), yang membuktikan secara mutlak bahwa barisan ini adalah barisan aritmatika.

Simetri Suku Tengah

Suku yang posisinya berada persis di tengah dua suku lain adalah rata-rata dari kedua suku tersebut. Sama seperti anak tangga, jika kamu melangkah dua anak tangga ke depan atau dua anak tangga ke belakang dari anak tangga ketiga, posisi anak tangga ketiga tetap menjadi titik tengah yang sempurna dari pijakan pertama dan kelima.

Secara umum, rumus suku ke-$n$ barisan aritmatika adalah $U_n = a + (n-1)b$. Kita bisa meninjau nilai suku pertama ($U_1 = a$) dan suku kelima ($U_5 = a + 4b$). Rata-rata dari $U_1$ dan $U_5$ adalah:

$$\frac{U_1 + U_5}{2} = \frac{a + (a + 4b)}{2} = \frac{2a + 4b}{2} = a + 2b$$

Bentuk $a + 2b$ tidak lain adalah rumus dari suku ketiga ($U_3$). Prinsip simetri ini berlaku untuk sembarang rentang indeks simetris: jarak indeks dari $1$ ke $3$ adalah $2$ langkah (bertambah $2b$), dan dari $3$ ke $5$ juga tepat $2$ langkah (bertambah $2b$).

Dengan nilai $U_1 = 1$ dan $U_5 = 3$ dari soal, kita dapat langsung menghitung $U_3 = \frac{1 + 3}{2} = 2$, yang membenarkan Opsi D. Memahami sifat simetri suku tengah ini menghindarkan kita dari berbagai jebakan:

• Opsi A ($0,5$) salah karena nilai tersebut merupakan beda ($b = 0,5$), bukan suku ketiga.

• Opsi B ($1$) salah karena itu adalah nilai dari suku awal ($U_1$).

• Opsi C ($1,5$) salah karena itu merupakan nilai dari suku kedua ($U_2 = 1 + 0,5$).

• Opsi E ($2,5$) salah karena itu adalah nilai dari suku keempat ($U_4 = 3 - 0,5$).

Barisan Aritmatika sebagai Fungsi Linear

Barisan aritmatika sebetulnya adalah fungsi linear yang domainnya dibatasi pada bilangan asli, dengan selisih suku sebagai gradiennya. Jika kita menaiki anak tangga dengan ketinggian langkah yang seragam, ujung-ujung pijakan setiap anak tangga berada tepat di sepanjang satu garis miring lurus yang mulus.

Koneksi aljabar ini terlihat jelas ketika kita membandingkan rumus barisan aritmatika dengan persamaan garis standar:

$$U_n = a + (n - 1)b \implies U_n = b \cdot n + (a - b)$$

$$y = m \cdot x + c$$

Di sini, posisi suku atau indeks $n$ bertindak sebagai variabel bebas $x$, sedangkan suku awal yang dikurangi beda ($a - b$) bertindak sebagai konstanta titik potong sumbu vertikal ($c$). Yang paling mendasar, nilai beda ($b$) memainkan peran yang persis sama dengan gradien ($m$): laju perubahan nilai suku terhadap penambahan satu indeks langkah.

Meskipun keduanya membentuk pola garis lurus yang identik, perbedaannya terletak pada domain (daerah asal). Fungsi linear biasa didefinisikan untuk semua bilangan real sehingga grafiknya berupa garis lurus tak terputus. Sebaliknya, barisan aritmatika hanya memiliki nilai pada nomor urut suku yang merupakan bilangan asli ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$), sehingga representasi grafiknya berupa sebaran titik-titik diskrit yang sejajar.