Lintasan Pantulan dan Aljabarnya

Anatomi Gerak Pantulan

Total lintasan bola pantul terdiri dari satu lintasan turun, dilanjutkan pasangan lintasan naik-turun dalam bentuk Deret Geometri Tak Hingga.

Bayangkan pergerakan ini seperti struk pengeluaran belanja yang dipecah antara pembayaran tunai sekali (jatuh pertama) dan cicilan bolak-balik yang menurun konstan (naik-turun pantulan berikutnya). Saat bola dijatuhkan pertama kali dari ketinggian $y^2$, bola hanya bergerak satu arah ke bawah menuju lantai. Namun, begitu menyentuh lantai dan memantul, bola selalu menempuh dua fase lintasan pada setiap pantulannya: melesat naik ke titik tertinggi, lalu kembali turun menempuh jarak yang sama persis.

Panah lintasan di atas memperlihatkan kenapa rumus total panjang lintasan memisahkan ketinggian awal dan deret pantulan. Lintasan pertama hanya ada gerakan Jatuh sebesar $y^2$. Setelah itu, setiap pantulan membentuk siklus lengkap: gerakan Naik dan gerakan Turun. Oleh karena itu, deret pantulan wajib dikalikan dengan angka $2$, bukan karena faktor Rasio pemantulannya, melainkan karena setiap tinggi pantulan dilewati dua kali bolak-balik.

Trik Pecahan Bertingkat

Menyederhanakan rumus deret tak hingga dengan rasio pecahan dilakukan dengan mengubah penyebut bawah terlebih dahulu sebelum dikalikan membalik ke pembilang.

Saat bola dijatuhkan dari ketinggian $y^2$ dengan Rasio pemantulan $\frac{1}{y}$, tinggi pantulan pertamanya menjadi Suku Pertama ($a$) deret pantulan, yaitu:

$$a = y^2 \cdot \frac{1}{y} = y$$

Nilai $a = y$ dan rasio $r = \frac{1}{y}$ kemudian dimasukkan ke dalam rumus jumlah Deret Geometri Tak Hingga:

$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{y}{1 - \frac{1}{y}}$$

Langkah paling krusial ada pada pecahan bertingkat ini. Selesaikan bagian penyebut di bawah terlebih dahulu dengan menyamakan angka $1$ menjadi $\frac{y}{y}$:

$$1 - \frac{1}{y} = \frac{y - 1}{y}$$

Sehingga bentuk pecahannya menjadi:

$$S_{\infty} = \frac{y}{\frac{y - 1}{y}}$$

Ingat aturan aljabar dasar: membagi dengan pecahan sama dengan mengalikannya secara terbalik. Pecahan $\frac{y - 1}{y}$ pada penyebut dibalik menjadi $\frac{y}{y - 1}$ saat dikalikan ke pembilang:

$$S_{\infty} = y \cdot \left(\frac{y}{y - 1}\right) = \frac{y^2}{y - 1}$$

Dari hasil ini, model matematis yang tepat untuk total panjang lintasan adalah:

$$S_{\text{total}} = y^2 + 2\left(\frac{y^2}{y - 1}\right)$$

Fakta aljabar ini membuktikan bahwa Opsi A pada soal salah, karena pembilang di dalam kurung deretnya keliru ditulis sebagai $y$, padahal seharusnya $y^2$. Pola menyusun model matematis pecahan bertingkat untuk deret tak hingga ini juga akan terpakai pada dinamika pendulum yang teredam lambat dan pantulan bertingkat pada bidang miring.

Persamaan Kuadrat dari Lintasan

Model pecahan aljabar yang tersusun disederhanakan dengan membaginya dan kemudian dikali silang menjadi persamaan kuadrat biasa.

Dari pembacaan sensor pada soal, diketahui panjang lintasan bola hingga berhenti bernilai $6y$. Kita samakan model lintasan yang sudah kita peroleh dengan nilai tersebut:

$$y^2 + \frac{2y^2}{y - 1} = 6y$$

Karena $y$ menyatakan ukuran fisik yang membentuk ketinggian dan jarak lintasan nyata bola, maka nilai $y$ tidak mungkin bernilai nol ($y \neq 0$). Dengan kepastian ini, kita dapat membagi setiap suku di kedua ruas dengan $y$ agar pangkatnya lebih sederhana:

$$y + \frac{2y}{y - 1} = 6$$

Sekarang, hilangkan pecahan dengan mengalikan seluruh suku di kedua ruas dengan $(y - 1)$:

$$y(y - 1) + 2y = 6(y - 1)$$

$$y^2 - y + 2y = 6y - 6$$

$$y^2 + y = 6y - 6$$

Pindahkan seluruh suku ke ruas kiri untuk membentuk persamaan kuadrat baku:

$$y^2 - 5y + 6 = 0$$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut dengan mencari dua bilangan yang hasil kalinya $+6$ dan jumlahnya $-5$:

$$(y - 2)(y - 3) = 0$$

Kita peroleh dua nilai penyelesaian, yaitu $y = 2$ atau $y = 3$. Karena $y = 3$ merupakan salah satu akar yang sah, maka pernyataan pada Opsi B terbukti benar.