Peluang Gabungan: Awas Terhitung Dua Kali!

Memetakan Semesta di Tabel 6x6

Saat menghadapi soal tentang pelemparan dua dadu, langkah pertama yang paling aman adalah memvisualisasikan seluruh kemungkinannya. Total ada $6 \times 6 = 36$ kemungkinan pasangan mata dadu. Kita bisa menyusunnya dalam sebuah tabel grid berukuran 6x6.

Di soal tadi, kita punya dua kejadian yang dihubungkan dengan kata "ATAU". Mari kita petakan satu per satu ke dalam grid di atas:

Kejadian A: Dadu 1 Genap DAN Dadu 2 > 4 Syarat ini harus memenuhi komponen tiap dadu secara spesifik. Dadu 1 harus genap yaitu $2, 4, 6$ (baris 2, 4, 6), dan Dadu 2 harus lebih dari 4 yaitu $5, 6$ (kolom 5, 6). Jika kita tandai sel yang memenuhi kedua syarat ini, kita dapat 6 sel (diarsir biru).

Kejadian B: Jumlah mata dadu 9 Untuk syarat ini, kita melihat hasil totalnya. Pasangan yang jumlahnya 9 selalu membentuk garis diagonal pada tabel: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$. Total ada 4 sel (diarsir kuning).

Dari tabel 6x6 di atas, mengapa pasangan dadu (6,5) termasuk ke dalam Kejadian A?

  • A. Karena jumlahnya genap
  • B. Karena 6 genap dan 5 lebih dari 4
  • C. Karena 6 > 4 dan 5 > 4
  • D. Karena jumlahnya 11

Jawaban: B. Karena 6 genap dan 5 lebih dari 4

Pasangan (6,5) memenuhi Kejadian A karena dadu pertama (6) adalah bilangan genap, dan dadu kedua (5) lebih besar dari 4.

Memverifikasi titik sampel yang memenuhi syarat majemuk per komponen.

Titik (4,5): Si Agen Ganda

Kalau kamu perhatikan baik-baik tabel 6x6 sebelumnya, ada satu sel yang kena arsiran dua kali. Coba kita zoom in ke titik tersebut!

Titik koordinat (4, 5) adalah "agen ganda" di bereksperimen kali ini. Mari kita interogasi titik (4,5) ini:

Karena memenuhi syarat kedua kelompok sekaligus, titik (4,5) berdiri di tengah-tengah. Dalam bahasa probabilitas dan himpunan, titik yang masuk ke dua kejadian sekaligus ini disebut sebagai Irisan atau secara matematis ditulis sebagai $A \cap B$.

Apa syarat mutlak sebuah pasangan dadu disebut sebagai 'irisan' dari dua kejadian?

  • A. Jika memenuhi salah satu kejadian saja
  • B. Jika jumlah mata dadunya ganjil
  • C. Jika memenuhi syarat dari Kejadian A sekaligus Kejadian B
  • D. Jika dadu pertama sama dengan dadu kedua

Jawaban: C. Jika memenuhi syarat dari Kejadian A sekaligus Kejadian B

Irisan dua kejadian terjadi ketika ada titik sampel (kemungkinan) yang syarat-syaratnya sesuai dengan kedua kejadian tersebut secara bersamaan.

Titik sampel disebut irisan jika memenuhi syarat dari kedua kejadian sekaligus.

Bahayanya Langsung Menjumlahkan

Berdasarkan diagnosa, pas ngerjain soal ini kamu langsung menjumlahkan total kemungkinan kejadiannya: $6 + 4 = 10$, sehingga peluangnya dihitung $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$. Masuk akal, kan? Sayangnya, logika penjumlahannya punya satu plot hole.

Coba mainkan diagram di bawah ini untuk melihat apa yang terjadi saat kita main asal jumlahkan.

Titik si agen ganda $(4,5)$ tadi bikin kita menghitung dobel. Saat kamu menjumlahkan 6 (dari A) + 4 (dari B), titik $(4,5)$ kehitung satu kali saat absen kelompok A, dan kehitung sekali lagi pas absen kelompok B!

Inilah asal muasal rumus peluang gabungan pakai kata hubung "ATAU":

Agar adil dan tidak ada yang dihitung dua kali (overcounting), kita harus mengurangi kelebihannya satu kali. Maka perhitungan yang tepat: Total cara unik = $6 + 4 - 1 = 9$ cara. Peluangnya = $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

Tentukan Benar atau Salah pernyataan mengenai rumus gabungan P(A ∪ B) berikut!

  • Rumus peluang gabungan selalu P(A U B) = P(A) + P(B) tanpa perlu dikurangi apapun. — Salah
  • Tujuan dari pengurangan P(A ∩ B) pada rumus adalah untuk membatalkan penghitungan ganda pada titik irisan. — Benar
  • Menjumlahkan P(A) dan P(B) secara langsung bisa menyebabkan nilai probabilitas menjadi salah karena overcounting. — Benar

Langsung menjumlahkan P(A)+P(B) hanya berlaku jika TIDAK ada irisan. Jika ada irisan, menjumlahkan langsung menyebabkan anggota irisan dihitung dua kali, sehingga rumus P(A U B) mewajibkan pengurangan P(A n B).

Rumus inklusi-eksklusi mengkompensasi overcounting pada irisan himpunan.