Menelusuri Kombinasi Pangkat Tanpa Terlewat

Menyederhanakan Persamaan

Bentuk eksponen rumit dapat disederhanakan dengan mengubah basisnya ke bilangan dasar terkecil lalu dihitung nilainya.

Langkah awal penyederhanaan yang kamu lakukan kemarin sudah sangat tepat! Mengubah basis bilangan majemuk ke basis prima terkecil—yaitu basis $2$—bekerja persis seperti memecah balok susun besar menjadi kepingan Lego paling dasar:

• $8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^{3 \times \frac{4}{3}} = 2^4 = 16$

• $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \times \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$

• $4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \times 3} = 2^6 = 64$

Setelah kepingan dasar tersebut dikembalikan ke persamaan awal, ruas kiri menjadi sangat sederhana:

$$(16 \times 8) - 64 = 128 - 64 = 64$$

Persamaan kini murni menyisakan $a^b = 64$.

Dekomposisi dengan Diagram Pohon

Satu bilangan hasil akhir bisa dibentuk dari beberapa kombinasi pangkat yang dicari secara sistematis melalui pengelompokan faktor dasar.

Angka $64$ jika dipecah hingga level dekomposisi paling dasar tersusun atas deretan enam buah faktor prima $2$:

$$64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$$

Dari susunan enam keping balok angka $2$ ini, kita dapat merakit ulang basis $a$ dan eksponen $b$ secara teratur:

• Tiap 1 blok berdiri sendiri: Terdapat $6$ keping angka $2$, menghasilkan $a = 2$ dan $b = 6 \implies 2^6 = 64$.

• Tiap 2 blok digabung: $(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) = 4 \times 4 \times 4$, menghasilkan $a = 4$ dan $b = 3 \implies 4^3 = 64$.

• Tiap 3 blok digabung: $(2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) = 8 \times 8$, menghasilkan $a = 8$ dan $b = 2 \implies 8^2 = 64$.

• Semua 6 blok menyatu: Menghasilkan satu kesatuan utuh dengan $a = 64$ dan $b = 1 \implies 64^1 = 64$.

Mengeksekusi Ketelitian

Satu selip hitungan pada penjumlahan akhir bisa menggugurkan opsi yang sudah di depan mata.

Mari kita jumlahkan kembali nilai $a + b$ dari seluruh pasangan yang berhasil kita peroleh:

• Pasangan $(2, 6) \implies a + b = 2 + 6 = 8$

• Pasangan $(4, 3) \implies a + b = 4 + 3 = 7$

• Pasangan $(8, 2) \implies a + b = 8 + 2 = 10$

• Pasangan $(64, 1) \implies a + b = 64 + 1 = 65$

Hasil penjumlahan menunjukkan bahwa nilai $7$, $8$, dan $10$ semuanya mungkin. Ketiga angka ini tepat mewakili poin (1), (2), dan (3) pada soal. Oleh karena itu, Opsi A adalah jawaban yang benar.