Transformasi: Geser, Cermin, dan Putar
Isometri dan Pergeseran Bidang
Translasi merupakan transformasi isometri yang murni menggeser letak objek tanpa menyusutkan, memperbesar, maupun mendistorsi bentuk aslinya. Kata isometri berakar dari ukuran yang sama (equal measure)—artinya, jarak antara setiap pasangan titik pada bangun datar selalu terpelihara sebelum dan sesudah pergeseran.
Bayangkan objek seperti benda tegar berbentuk balok pipih di atas meja. Saat balok digeser secara miring (misalnya menyerong ke kanan bawah), seluruh bagian balok berpindah bersamaan dengan jarak dan arah yang identik. Bidang meja yang ditutupinya tetap tepat seluas permukaan balok tersebut.
Hal ini menjelaskan mengapa pada Opsi A, pergeseran posisi elemen persegi panjang dekoratif sejauh vektor $T = (3, -2)$ sama sekali tidak mengubah nilai luasnya. Vektor translasi hanya menentukan arah sejauh $3$ satuan ke kanan dan $2$ satuan ke bawah, sementara panjang dan lebar bangun tetap utuh. Oleh karena itu, Opsi A Benar.
Cermin pada Sumbu X = 0
Garis $x = 0$ berada tepat tegak lurus menutupi sumbu $Y$, sehingga bertindak sebagai cermin vertikal yang menukar sisi kiri dengan sisi kanan objek. Persamaan $x = 0$ merepresentasikan himpunan semua titik pada bidang koordinat yang memiliki nilai absis nol, yang membentuk garis lurus memanjang ke atas dan ke bawah secara vertikal.
Ketika sebuah benda tegar berbentuk balok pipih ditaruh di depan cermin vertikal ini, titik-titik di sebelah kiri (dengan koordinat $x$ negatif) akan dipetakan ke sebelah kanan (dengan koordinat $x$ positif) berjarak sama dari cermin, sementara ketinggian vertikal $y$ tidak mengalami pergeseran. Pemetaan koordinatnya adalah $(x, y) \to (-x, y)$.
Akibatnya, pencerminan terhadap sumbu vertikal ini menghasilkan pembalikan orientasi secara horizontal (kiri-kanan). Pada Opsi B, refleksi persegi panjang dekoratif terhadap garis lurus $x = 0$ menghasilkan bayangan objek yang terbalik dari kiri ke kanan. Maka dari itu, pernyataan pada Opsi B Benar.
Sebuah panah dekoratif menunjuk ke arah Timur Laut berada di atas garis $y = 0$. Jika panah tersebut direfleksikan terhadap garis $y = 0$, ke arah manakah panah tersebut akan menunjuk?
- Barat Laut
- Tenggara
- Barat Daya
- Timur Laut
Jawaban: Tenggara
Garis $y = 0$ adalah garis mendatar (sumbu $X$). Pencerminan terhadap garis mendatar membalikkan orientasi atas-bawah sementara orientasi kiri-kanan tetap; komponen 'Utara' (atas) berbalik menjadi 'Selatan' (bawah), sedangkan 'Timur' (kanan) tetap, sehingga panah menunjuk ke arah Tenggara. Pengecoh Barat Laut salah karena menukar kiri-kanan (efek cermin vertikal), Barat Daya salah karena membalikkan kedua arah sekaligus, dan Timur Laut salah karena mengabaikan efek pembalikan cermin.
Efek orientasi dari refleksi terhadap garis horizontal y = 0
Arah Rotasi Memutar Balik
Arah rotasi sebesar 90 derajat—searah jarum jam atau berlawanan jarum jam—memindahkan benda ke arah kuadran yang berbeda sehingga letak posisi akhirnya berlawanan. Meskipun besar sudut putarannya sama-sama seperempat lingkaran ($90^\circ$), lintasan dan arah gerak menentukan posisi kuadran tempat titik mendarat.
Ambil contoh sebuah titik sudut baliho pada koordinat $(1, 2)$ di kuadran I yang diputar terhadap titik asal $(0,0)$:
Searah jarum jam (clockwise / CW): titik berputar ke arah kanan bawah, menghasilkan pemetaan $(x, y) \to (y, -x)$. Koordinat $(1, 2)$ berubah menjadi $(2, -1)$ yang terletak di kuadran IV.
Berlawanan arah jarum jam (counterclockwise / CCW): titik berputar ke arah kiri atas, menghasilkan pemetaan $(x, y) \to (-y, x)$. Koordinat $(1, 2)$ berubah menjadi $(-2, 1)$ yang terletak di kuadran II.
Karena kedua posisi hasil rotasi tersebut bertolak belakang $180^\circ$ satu sama lain di kuadran yang berlawanan, pernyataan pada Opsi C yang mengeklaim bahwa kedua putaran menghasilkan koordinat yang sama adalah keliru. Oleh karena itu, Opsi C Salah.
Titik acuan P pada sketsa baliho terletak pada koordinat (3, 4). Tentukan kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut mengenai posisi bayangannya setelah dirotasikan dengan pusat (0,0):
- Pemutaran titik P sejauh 90° berlawanan arah jarum jam menghasilkan titik akhir di kuadran II. — Benar
- Pemutaran titik P sejauh 90° searah jarum jam menghasilkan koordinat akhir (-4, 3). — Salah
Pernyataan 1 Benar karena rotasi $90^\circ$ berlawanan arah jarum jam memetakan $(x, y) \to (-y, x)$, sehingga $(3, 4)$ menjadi $(-4, 3)$ yang memiliki $x < 0$ dan $y > 0$ (kuadran II). Pernyataan 2 Salah karena rotasi $90^\circ$ searah jarum jam memetakan $(x, y) \to (y, -x)$, sehingga $(3, 4)$ berpindah ke $(4, -3)$ di kuadran IV, bukan $(-4, 3)$.
Membedakan efek perputaran terhadap posisi akhir titik acuan