Matriks Rotasi: Membedah Transpose & Invers

Matriks Sebagai 'Mesin Pemutar'

Pernahkah kamu membayangkan apa arti sebenarnya dari matriks di soalmu tadi? Matriks $A=\left( \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right)$ bukanlah sekadar kotak berisi rumus trigonometri yang bikin pusing. Dalam matematika, matriks ini bertindak seperti sebuah mesin pemutar (mesin transformasi).

Kunci untuk memahami matriks ini adalah dengan melihat kolom-kolomnya. Kolom-kolom matriks sebenarnya memberitahu kita ke mana arah panah sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ akan pergi setelah diputar:

• Kolom pertama $\begin{pmatrix} \cos \theta \sin \theta \end{pmatrix}$ adalah posisi baru dari vektor basis sumbu-$x$ $(1,0)$ setelah diputar sejauh $\theta$.

• Kolom kedua $\begin{pmatrix} -\sin \theta \cos \theta \end{pmatrix}$ adalah posisi baru dari vektor basis sumbu-$y$ $(0,1)$ setelah diputar sejauh $\theta$.

Coba mainkan slider di bawah ini untuk melihat bagaimana kolom-kolom matriks $A$ selalu mengikuti posisi baru dari vektor sumbu-$x$ dan sumbu-$y$ saat diputar!

Dengan mengalikan titik mana pun di bidang koordinat dengan matriks $A$, kamu pada dasarnya sedang memerintahkan koordinat tersebut untuk mengikuti putaran sumbu-sumbunya. Itulah fondasi pertama dari transformasi matriks rotasi!

Transpose ($A^T$): Menukar Baris & Kolom

Di soal, kamu diminta membandingkan $A^T$ dengan $A^{-1}$. Mari kita bedah $A^T$ (Transpose) terlebih dahulu.

Secara aljabar, operasi transpose berarti menukar baris menjadi kolom. Baris pertama menjadi kolom pertama, dan baris kedua menjadi kolom kedua. Jika kita terapkan pada matriks rotasi $A$:

Baris pertama $\left( \cos \theta \quad -\sin \theta \right)$ menjadi kolom pertama. Baris kedua $\left( \sin \theta \quad \cos \theta \right)$ menjadi kolom kedua.

Hasilnya, elemen diagonal utama tetap ($\cos \theta$), sementara elemen diagonal samping bertukar posisi:

Determinan & Identitas Sakti

Sebelum kita masuk ke Invers matriks ($A^{-1}$), kita butuh satu komponen penting: Determinan. Determinan dari sebuah matriks mengukur "seberapa besar" transformasi tersebut mengubah luas objek.

Rumus determinan untuk matriks $2\times2$ adalah $(a \times d) - (b \times c)$. Mari hitung untuk matriks rotasi $A$:

$\text{Det}(A) = (\cos \theta)(\cos \theta) - (-\sin \theta)(\sin \theta)$ $\text{Det}(A) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$

Pernah lihat bentuk di atas? Yap! Itu adalah Identitas Pythagoras dalam trigonometri.

Apa arti geometri dari determinan bernilai 1? Ini adalah bukti matematis bahwa rotasi tidak mengubah luas atau ukuran objek aslinya. Jika kamu merotasi sebuah persegi yang luasnya 5, setelah diputar pun luasnya akan tetap 5 ($5 \times 1 = 5$). Inilah sebabnya bentuk objek selalu terjaga sempurna saat diputar.