Barisan Aritmatika: Dari Pola ke Persamaan

Mengenal Suku dan Beda

Barisan aritmatika selalu punya nilai awal ($a$) dan penambahan yang konstan ($b$) di setiap langkahnya.

Bayangkan kamu sedang menaiki anak tangga. Pijakan paling pertama adalah titik berangkatmu, yang kita sebut sebagai suku pertama ($u_1 = a$). Setiap kali kamu melangkah naik satu anak tangga ke atas, ketinggianmu bertambah dengan ukuran langkah yang selalu sama, yaitu beda ($b$).

Ketika kamu melangkah dari pijakan pertama ($u_1 = a$) ke anak tangga kedua ($u_2$), kamu naik sebanyak satu langkah sehingga tingginya menjadi $a + b$. Saat melangkah ke anak tangga ketiga ($u_3$), kamu melangkah dua kali dari posisi awal sehingga tingginya menjadi $a + 2b$.

Pola ini berlaku untuk anak tangga mana pun. Untuk mencapai suku ke-$n$ ($u_n$), kita selalu mulai dari nilai awal $a$ lalu melangkah sebanyak $(n - 1)$ kali beda. Inilah asal dari rumus suku ke-$n$:

$$u_n = a + (n - 1)b$$

Sebagai contoh ilustrasi, jika kita punya barisan $2, 5, 8, \dots$, pijakan awalnya adalah $a = 2$ dan ukuran langkahnya adalah $b = 3$. Untuk mencari suku ke-$4$, kita cukup melangkah $3$ kali dari titik awal: $u_4 = 2 + 3(3) = 11$.

Menerjemahkan Soal ke Aljabar

Informasi $u_n$ dalam soal harus diubah menjadi bentuk $a$ dan $b$ agar bisa dihitung.

Di dalam soal, kita dihadapkan pada dua perkalian suku dari sebuah barisan aritmatika:

1. $u_1 \times u_2 = 10$

2. $u_1 \times u_3 = 16$

Jika kita melihat bentuk $u_1$, $u_2$, dan $u_3$ secara terpisah, kita sulit melihat bagaimana suku-suku ini saling terhubung. Di sinilah analogi anak tangga membantu: kita ubah setiap suku menjadi pijakan awal ($a$) dan langkahnya ($b$).

Berdasarkan rumus suku ke-$n$:

• Suku pertama: $u_1 = a$

• Suku kedua: $u_2 = a + b$

• Suku ketiga: $u_3 = a + 2b$

Sekarang, kita gantikan simbol-simbol suku pada soal dengan bentuk $a$ dan $b$:

• Kondisi pertama ($u_1 \times u_2 = 10$) diterjemahkan menjadi:

  $$a(a + b) = 10$$

• Kondisi kedua ($u_1 \times u_3 = 16$) diterjemahkan menjadi:

  $$a(a + 2b) = 16$$

Trik Eliminasi Persamaan Sulit

Dua persamaan non-linear dapat diuraikan dan dikurangkan untuk menemukan hubungan variabelnya.

Persamaan $a(a + b) = 10$ dan $a(a + 2b) = 16$ memuat perkalian antarvariabel, sehingga terlihat rumit jika langsung diselesaikan. Agar polanya terlihat jelas, kita kalikan suku di luar kurung ke setiap suku di dalam kurung (ekspansi).

Pada persamaan pertama:

$$a(a + b) = 10 \implies a^2 + ab = 10 \quad \text{...(i)}$$

Pada persamaan kedua:

$$a(a + 2b) = 16 \implies a^2 + 2ab = 16 \quad \text{...(ii)}$$

Perhatikan bahwa kedua persamaan tersebut sama-sama memuat suku $a^2$. Kita bisa menghilangkan $a^2$ dengan cara mengurangkan persamaan $\text{(ii)}$ dengan persamaan $\text{(i)}$:

$$\begin{aligned} (a^2 + 2ab) - (a^2 + ab) &= 16 - 10 \\ ab &= 6 \end{aligned}$$

Dengan trik pengurangan ini, bentuk kuadrat $a^2$ hilang dan kita mendapatkan satu informasi yang jauh lebih sederhana: nilai perkalian $a \times b$ adalah $6$.