Persamaan Lingkaran: Dari Sketsa ke Aljabar

Membayangkan Jari-Jari

Jari-jari lingkaran adalah jarak terpendek dari titik pusat ke garis singgungnya.

Bayangkan kamu sedang menggambar lingkaran menggunakan jangka. Jarum jangka ditancapkan di pusat lingkaran $(2, -3)$, lalu kaki pensilnya kamu rentangkan ke kanan hingga pas menyentuh batas kertas yaitu garis singgung $x = 5$. Rentang bukaan jangka inilah yang menjadi jari-jari ($r$) lingkaran.

Karena garis singgungnya vertikal tegak lurus ($x = 5$), jarak dari titik pusat $(2, -3)$ ke garis tersebut cukup dihitung secara mendatar (horizontal). Kita hanya perlu melihat selisih koordinat $x$-nya:

$$r = |x_{\text{garis}} - x_{\text{pusat}}| = |5 - 2| = 3$$

Garis singgung vertikal hanya membatasi sisi mendatar lingkaran. Berapa pun nilai koordinat $y$-nya (tinggi rendahnya posisi pusat), panjang jari-jari murni ditentukan oleh jarak horizontal antara pusat dan garis pembatas tersebut.

Sebuah lingkaran memiliki pusat di titik (-1, 4) dan menyinggung sumbu Y (garis x = 0). Berapakah panjang jari-jari lingkaran tersebut?

  • Jari-jari lingkaran bernilai -1
  • Jari-jari lingkaran bernilai 1
  • Jari-jari lingkaran bernilai 4
  • Jari-jari lingkaran bernilai 5

Jawaban: Jari-jari lingkaran bernilai 1

Sumbu Y memiliki persamaan garis vertikal x = 0. Jarak horizontal dari absis pusat x = -1 ke garis x = 0 adalah |-1 - 0| = 1. Karena jarak fisik selalu positif, jari-jari lingkaran adalah 1. Opsi A salah karena jarak tidak boleh negatif. Opsi C salah karena mengambil ordinat y pusat (4). Opsi D salah karena menjumlahkan nilai koordinat (| -1 | + 4 = 5).

Menentukan jari-jari lingkaran yang menyinggung garis vertikal atau horizontal.

Menyusun Bentuk Baku

Pusat lingkaran menentukan angka di dalam kurung kuadrat dengan tanda berlawanan.

Rumus baku lingkaran berpijak pada teorema Pythagoras: kuadrat jarak mendatar ditambah kuadrat jarak tegak sama dengan kuadrat jari-jarinya. Jika pusat lingkaran berada di titik acuan $(a, b)$, maka jarak mendatar setiap titik di lingkaran ke jarum jangka adalah $(x - a)$ dan jarak tegaknya adalah $(y - b)$:

$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$

Diagram skema aturan perubahan tanda koordinat pusat saat masuk ke bentuk baku persamaan lingkaran.

Perhatikan perubahan tanda saat memasukkan koordinat pusat $(2, -3)$:

Dengan memasukkan nilai tersebut, sisi kiri persamaan terkunci menjadi $(x - 2)^2 + (y + 3)^2$.

Mengekspansi Persamaan

Bentuk baku dikuadratkan dan dihitung aljabarnya untuk mencapai bentuk umum persamaan lingkaran.

Setelah bentuk baku $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 3^2$ tersusun, buka masing-masing kurung menggunakan rumus ekspansi kuadrat $(A \pm B)^2 = A^2 \pm 2AB + B^2$:

$$(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$$

$$(y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9$$

Gabungkan kedua hasil ekspansi tersebut dan samakan dengan kuadrat panjang kaki jangka kita ($r^2 = 3^2 = 9$):

$$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 9$$

Pindahkan nilai $9$ dari ruas kanan ke ruas kiri agar ruas kanan bernilai nol, lalu kumpulkan suku-sukunya secara rapi:

$$x^2 + y^2 - 4x + 6y + (4 + 9 - 9) = 0$$

$$x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$$

Persamaan ini cocok persis dengan Opsi C.

Bentuk umum dari persamaan lingkaran (x + 1)² + (y - 2)² = 4² adalah ….

  • x² + y² + 2x - 4y + 5 = 0
  • x² + y² + 2x - 4y - 11 = 0
  • x² + y² + 2x - 4y - 1 = 0
  • x² + y² - 2x + 4y - 11 = 0

Jawaban: x² + y² + 2x - 4y - 11 = 0

Bentuk baku dijabarkan: (x + 1)² = x² + 2x + 1 dan (y - 2)² = y² - 4y + 4, dengan r² = 4² = 16. Mengumpulkan konstanta ke ruas kiri: 1 + 4 - 16 = -11. Sehingga bentuk umumnya adalah x² + y² + 2x - 4y - 11 = 0 (Opsi B). Opsi A salah karena lupa mengurangkan 16 dari ruas kanan (hanya menghitung 1 + 4 = 5). Opsi C salah karena lupa mengkuadratkan r (hanya mengurangkan 4, menghasilkan 5 - 4 = 1). Opsi D salah karena tanda suku linear terbalik (-2x dan +4y).

Melakukan ekspansi bentuk baku ke bentuk umum dengan benar.