Eksponen Pecahan & Manipulasi Basis

Anatomi Pangkat Pecahan

Pernah ngelihat bentuk kayak $8^{\frac{4}{3}}$ dan ngerasa ngeri duluan? Wajar, karena ngelihat ada pecahan di atas angka tuh rasanya ribet. Tapi, pangkat pecahan sebenernya cuma singkatan buat dua operasi yang digabungin.

Kalau kamu punya $x^{\frac{m}{n}}$, penyebut $n$ (yang di bawah) itu ngasih tau akar ke-berapa, dan pembilang $m$ (yang di atas) itu pangkat biasa. Jadi, $8^{\frac{4}{3}}$ itu sama aja dengan mencari akar pangkat 3 dari 8, lalu hasilnya dipangkatkan 4.

Cara yang jauh lebih elegan dan aman: ambil akarnya dulu biar angkanya mengecil, baru dipangkatkan. Atau, ubah basisnya jadi bilangan prima. Angka $8$ itu kan sebenernya $2^3$. Jadi, kalau kita substitusi:

Dengan ngubah ke basis $2$, kita bisa pakai sifat eksponen $(a^p)^q = a^{p \times q}$. Angka pangkatnya tinggal dikalikan: $3 \times \frac{4}{3}$. Angka 3-nya saling mencoret, menyisakan $2^4$, yang hasilnya $16$. Gampang banget, kan?

Berapakah hasil dari $27^{\frac{2}{3}}$ dengan menggunakan trik mengubah basis menjadi bilangan prima?

  • A. 4
  • B. 9
  • C. 27
  • D. 81

Jawaban: B. 9

27 = 3^3. Jadi (3^3)^(2/3). Pangkat 3 dan /3 saling coret, menyisakan 3^2 = 9.

Mengubah basis menjadi bilangan pangkat prima untuk menyederhanakan pangkat pecahan, menggunakan sifat (a^m)^n = a^(m*n).

Satu Basis Untuk Semua

Di halaman sebelumnya, kita udah berhasil naklukin $8^{\frac{4}{3}}$ jadi $16$. Sekarang coba perhatiin sisa angka di persamaan awal kita: $8^{\frac{4}{3}} \times 16^{\frac{3}{4}} - 4^3 = a^b$.

Ada $8, 16$, dan $4$. Kelihatannya beda-beda, padahal mereka itu "satu keluarga". Semuanya adalah hasil pangkat dari basis yang sama, yaitu $2$.

ilustrasi

Mari kita pakai trik "coret pangkat" yang udah kita pelajari ke suku yang lain: Untuk $16^{\frac{3}{4}}$: Ubah jadi $(2^4)^{\frac{3}{4}}$. Angka $4$ dan penyebut $4$ dicoret, menyisakan $2^3 = 8$.

Untuk $4^3$: Ubah jadi $(2^2)^3$. Pangkatnya dikalikan jadi $2^6 = 64$.

Sekarang, bentuk yang awalnya menyeramkan udah berubah jadi angka-angka bulat yang bersahabat!

Jika kamu bertemu operasi perkalian antara $4^3$ dan $32^{\frac{1}{5}}$, ke basis manakah kedua angka tersebut sebaiknya disamakan?

  • A. 2^2 dan 2^5
  • B. 4^1 dan 4^3
  • C. Keduanya dibiarkan saja
  • D. Diubah menjadi basis 8

Jawaban: A. 2^2 dan 2^5

4 dan 32 sama-sama anggota 'keluarga' pangkat dari 2, yaitu 2^2 dan 2^5, menjadikannya basis paling dasar.

Menyamakan basis komposit ke bilangan prima terkecil yang sama agar aturan eksponen bisa diterapkan.

Menjinakkan Ruas Kiri

Setelah susah payah membongkar dan menyederhanakan eksponen, saatnya kita menyatukan kembali kepingan puzzle tersebut ke dalam persamaan aslinya.

Ingat, persamaan awal kita adalah: $8^{\frac{4}{3}} \times 16^{\frac{3}{4}} - 4^3 = a^b$

Kalau kita masukkan angka-angka cantik yang udah kita dapat dari langkah sebelumnya, bentuknya berubah menjadi: $16 \times 8 - 64 = a^b$

Mari kita selesaikan perlahan:

  1. Hitung perkaliannya dulu: $16 \times 8 = 128$.

  2. Baru lakukan pengurangan: $128 - 64 = 64$.

Jadi, seluruh ruas kiri yang rumit tadi ternyata nilainya hanyalah $64$. Kita sampai pada inti persamaan yang super sederhana: $a^b = 64$

Sesuai dengan aturan PEMDAS, berapakah hasil perhitungan dari $6 + 3 \times 5$?

  • A. 15
  • B. 0
  • C. 21
  • D. 24

Jawaban: C. 21

Lakukan perkalian 3 x 5 = 15 terlebih dahulu, lalu tambahkan 6. Hasilnya 6 + 15 = 21.

Aturan urutan operasi matematika (PEMDAS): perkalian dilakukan sebelum pengurangan.