Akar Persamaan & Manipulasi Aljabar

Menerjemahkan Bahasa Soal

Pernahkah kamu membaca soal matematika dan merasa sedang membaca bahasa asing padahal ditulis pakai Bahasa Indonesia? Tantangan terbesar di soal ini ada di kalimat awalnya: "jumlah kuadrat akar-akar".

Seringkali, jebakan pertama yang bikin siswa macet adalah salah menerjemahkan kalimat ini ke dalam simbol aljabar.

Mari kita bedah secara perlahan. Misalkan akar-akar persamaan kita sebut saja $m$ dan $n$.

Sekarang, baca pelan-pelan urutan kata di soal: "jumlah" dari "kuadrat akar-akarnya". Artinya, operasi kuadrat dilakukan lebih dulu pada masing-masing akar, baru setelah itu hasilnya dijumlahkan.

Bentuk aljabarnya adalah: $m^2 + n^2$

Biar lebih terbayang bedanya, mari kita lihat visualisasi berikut:

Dari gambar di atas kelihatan jelas kan? $m^2 + n^2$ itu cuma dua kotak terpisah. Sedangkan $(m+n)^2$ itu jauh lebih besar karena ada tambahan luas dari blok persegi panjang ekstra (yang nilainya $2mn$).

Jadi, informasi utama dari soal yang jadi modal kita adalah: Kita tahu bahwa $m^2 + n^2 = 41$.

Jika akar-akarnya adalah $p$ dan $q$, bagaimana bentuk aljabar untuk 'kuadrat dari selisih akar-akar'?

  • A. $p^2 - q^2$
  • B. $(p - q)^2$
  • C. $p - q^2$
  • D. $(p^2 - q)^2$

Jawaban: B. $(p - q)^2$

'Kuadrat' adalah operasi terakhir. Kurangi dulu (selisih), lalu kuadratkan seluruhnya.

Translasi kalimat operasi aljabar ke dalam notasi matematika yang mementingkan urutan operasi.

Membongkar Rahasia Persamaan

Oke, sekarang kita udah punya modal $m^2 + n^2 = 41$. Masalahnya, kita nggak tahu nilai masing-masing akar ($m$ dan $n$), apalagi soalnya cuma ngasih persamaan yang masih bolong: $x^2 + (b + 1)x - 8 = 0$

Di sinilah Rumus Vieta datang sebagai pahlawan! Pada abad ke-16, seorang matematikawan bernama François Viète (atau Vieta) menyadari sesuatu yang keren: Kita bisa tahu hasil tambah dan hasil kali dari akar-akar sebuah persamaan kuadrat tanpa perlu repot-repot mencari angka akarnya sama sekali! Cukup lihat koefisien persamaannya aja.

Ingat bentuk umum persamaan kuadrat: $Ax^2 + Bx + C = 0$

Menurut Vieta, ada hubungan ajaib antara koefisien ($A, B, C$) dan akar-akarnya ($m, n$):

  1. Hasil Tambah Akar ($m + n$) = $-\frac{B}{A}$

  2. Hasil Kali Akar ($m \cdot n$) = $\frac{C}{A}$

Mari kita terapkan ke persamaan di soal kita: $x^2 + (b + 1)x - 8 = 0$.

Berdasarkan skema di atas, kita dapatkan dua keping teka-teki baru:

Sekarang kita punya tiga modal:

  1. $m^2 + n^2 = 41$ (dari soal cerita)

  2. $m + n = -b - 1$ (dari Vieta)

  3. $mn = -8$ (dari Vieta)

Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah berdasarkan Rumus Vieta untuk persamaan $x^2 - 3x - 10 = 0$.

  • Hasil tambah akar-akar dari x^2 - 3x - 10 = 0 adalah 3. — Benar
  • Hasil kali akar-akar dari persamaan tersebut adalah 10. — Salah

Pernyataan pertama benar ((-(-3)/1 = 3)). Pernyataan kedua salah karena (mn = C/A = -10/1 = -10), bukan 10.

Rumus Vieta untuk mencari jumlah dan hasil kali akar tanpa mencari akarnya.

Jembatan Identitas Aljabar

Oke, kita udah ngumpulin fakta. Masalahnya, modal yang kita punya ($m+n$ dan $mn$) bentuknya masih terpisah, sedangkan kita butuh menghubungkannya dengan $m^2 + n^2$ biar bisa mencari nilai $b$.

Gimana cara menyatukan mereka? Jawabannya ada di rumus jembatan yang mungkin udah sering kamu jabarkan sejak SMP: $(m + n)^2 = m^2 + n^2 + 2mn$

Coba perhatikan rumus di atas. Semua kepingan yang kita punya ada di sana! Tapi, karena tujuan utama kita adalah mencocokkan dengan angka $41$ yang merepresentasikan $m^2 + n^2$, mari kita susun ulang persamaan ini supaya $m^2 + n^2$ berdiri sendirian di satu sisi.

Logikanya, tinggal pindahkan saja suku $2mn$ ke ruas seberang (karena tadinya dijumlah, pindah ruas jadi dikurang).

Taraa! Sekarang kita punya formula yang perfect. Rumus susun ulang ini ibarat mesin pencetak. Kita masukkan bahan baku yang kita punya dari halaman sebelumnya:

Substitusi secara eksplisit akan menghasilkan: $41 = (-b - 1)^2 - 2(-8)$

Persamaan di atas sekarang hanya punya satu huruf variabel yang tidak diketahui, yaitu $b$. Berarti, kalau kita jabarkan persamaan ini, nilai $b$-nya pasti bakal ketemu!