Menaklukkan Hitungan Rumit dengan Pola Aljabar

Merapikan Bagian Bawah

Operasi yang panjang sering memuat bagian yang saling menghilangkan berkat sifat komutatif. Saat berhadapan dengan pecahan rumit seperti ini, kita tidak perlu terburu-buru menghitung perkalian angka puluhan secara manual.

Mari kita amati terlebih dahulu bagian penyebut pecahan:

$$23 \times 37 - 37 \times 23 + 23 - 37$$

Berkat sifat komutatif, urutan perkalian dua bilangan tidak memengaruhi hasil akhirnya, sehingga $23 \times 37$ nilainya persis sama dengan $37 \times 23$. Ketika suatu nilai dikurangkan dengan dirinya sendiri, hasilnya adalah $0$:

$$(23 \times 37) - (37 \times 23) = 0$$

Dengan demikian, beban hitungan besar di bagian depan langsung lenyap. Penyebut yang awalnya tampak rumit kini menyisakan bentuk yang sangat sederhana, yaitu $(23 - 37)$. Kita simpan bentuk ini tanpa perlu menghitung nilainya terlebih dahulu.

Membongkar Bagian Atas

Bentuk kuadrat yang dikurangkan bisa difaktorkan untuk mencegah hitungan perkalian besar. Sekarang giliran kita membedah bagian pembilang pada pecahan:

$$23 \times 23 - 37 \times 37$$

Perkalian tersebut setara dengan bentuk pangkat dua, yaitu $23^2 - 37^2$. Menghitung perkalian kuadrat angka puluhan secara manual hanya akan membuang waktu dan memperbesar risiko keliru berhitung.

Dalam aljabar dasar, terdapat identitas selisih dua kuadrat yang sangat mendasar:

$$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$

Jika kita terapkan pola ini pada angka di pembilang dengan $a = 23$ dan $b = 37$, bentuk pembilang langsung terurai menjadi:

$$(23 - 37)(23 + 37)$$

Bentuk faktor ini memecah ekspresi besar menjadi dua kelompok perkalian yang rapi. Membiarkannya dalam bentuk kurung seperti ini akan memudahkan kita saat disatukan kembali dengan penyebut.

Mencoret dan Menemukan Jawaban

Kelompok faktor yang identik pada pembilang dan penyebut akan membagi habis dirinya menjadi satu. Setelah pembilang dan penyebut disederhanakan, kita satukan kembali keduanya ke dalam pecahan utuh:

$$\frac{(23 - 37)(23 + 37)}{(23 - 37)}$$

Kelompok $(23 - 37)$ hadir baik di posisi pembilang sebagai salah satu faktor perkalian maupun di penyebut. Karena pembagian suatu bilangan bukan nol dengan dirinya sendiri menghasilkan $1$, kelompok faktor kembar $(23 - 37)$ dapat langsung dicoret:

$$\frac{(23 - 37)(23 + 37)}{(23 - 37)} = 1 \times (23 + 37) = 23 + 37$$

Sisa operasi yang perlu kita hitung hanyalah penjumlahan sederhana:

$$23 + 37 = 60$$

Hasil yang tepat adalah $60$ (Opsi E).