Barisan dan Volume Ruang

Fondasi Koper Pertama

Tinggi koper pertama berhasil ditemukan dengan membagi total volume dengan luas alasnya. Langkah awal ini menjadi kunci penentu karena seluruh koper berikutnya dibangun bertahap dari ukuran koper dasar ini.

Diagram balok 3D translusen koper pertama dengan panjang 40 cm, lebar 30 cm, dan tinggi 35 cm.

Secara matematis, Volume Balok dirumuskan sebagai perkalian tiga dimensinya, yaitu:

$$V = P \times L \times T$$

Karena koper pertama memiliki volume $V_1 = 42.000\text{ cm}^3$, panjang $P_1 = 40\text{ cm}$, dan lebar $L_1 = 30\text{ cm}$, tinggi koper ($x$) dapat dicari langsung dari luas alasnya:

$$\text{Luas Alas} = 40 \times 30 = 1.200\text{ cm}^2$$

$$T_1 = \frac{42.000}{1.200} = 35\text{ cm}$$

Dimensi dasar $40 \times 30 \times 35\text{ cm}$ inilah yang menjadi balok utama koper pertama.

Misteri Induksi Dimensi

Koper urutan ke-$n$ hanya memerlukan $n-1$ kali penambahan lapisan dimensi dari koper pertama. Pertumbuhan ukuran tiap koper dapat diibaratkan seperti balok mainan yang ditambah lapisan luarnya lapis demi lapis: koper 1 adalah balok dasar, koper 2 mendapat 1 lapis tambahan tebal, dan seterusnya.

Koper pertama adalah "lapis nol" karena wujud dasarnya sudah ada tanpa memerlukan tambahan selisih apa pun. Pertambahan ukuran baru dimulai saat kita bergeser ke koper berikutnya:

Sebuah menara balok memiliki balok pertama setinggi 10 cm. Setiap balok pada urutan berikutnya dibuat lebih tinggi dengan pertambahan tetap sebesar 5 cm. Berapa banyak tambahan tinggi 5 cm yang ada pada balok urutan ke-12?

  • 10 kali penambahan selisih
  • 11 kali penambahan selisih
  • 12 kali penambahan selisih
  • 60 kali penambahan selisih

Jawaban: 11 kali penambahan selisih

Balok urutan pertama sudah memiliki tinggi dasar tanpa penambahan selisih. Pertambahan tinggi sebesar 5 cm baru mulai dihitung pada balok kedua. Karena itu, pada balok urutan ke-12 hanya terdapat (12 - 1) = 11 kali penambahan selisih. Pilihan 12 kali keliru karena mengalikan indeks n secara langsung (a + nb), sedangkan 60 kali keliru karena menghitung perkalian 12 x 5 alih-alih jumlah penambahannya.

Menentukan jumlah penambahan selisih (lompatan) pada suku ke-n barisan aritmetika.

Menghitung Dimensi Koper ke-7

Dimensi koper ke-7 didapatkan dengan menambahkan 6 kali selisih pada panjang, lebar, dan tinggi koper pertama. Konsep Barisan Aritmetika memastikan bahwa nilai tiap rusuk pada koper ke-$n$ dihitung dengan rumus Suku ke-n:

$$U_n = a + (n-1)b$$

Diagram balok koper ke-7 dengan dimensi panjang 58 cm, lebar 42 cm, dan tinggi 41 cm.

Dengan memasukkan $n-1 = 6$, mari kita pasang lapisan tambahan tersebut pada ketiga rusuk balok dasar: