Merasionalkan Akar: Trik Sekawan
Berawal dari Luas
Mencari lebar persegi panjang dari luas dan panjangnya akan menghasilkan bentuk pecahan.
Ingat kembali rumus dasar luas persegi panjang yang sudah sangat kita kenal:
$$L = p \times l$$
Dari soal, kita punya sebidang tanah dengan luas $L = 48 \text{ m}^2$ dan panjang $p = (4 + 2\sqrt{3})\text{ meter}$. Untuk mencari nilai lebar ($l$), kita cukup membagi luas dengan panjangnya:
$$48 = (4 + 2\sqrt{3}) \times l$$
$$l = \frac{48}{4 + 2\sqrt{3}}$$
Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan angka $2$, perhitungan kita langsung jadi jauh lebih ringan:
$$l = \frac{48}{2(2 + \sqrt{3})} = \frac{24}{2 + \sqrt{3}}$$
Sekarang kita berhadapan dengan bentuk pecahan $\frac{24}{2 + \sqrt{3}}$. Namun, bagaimana cara kita membagi bilangan bulat dengan bentuk yang memuat akar seperti ini?
Kenapa Harus Dirasionalkan?
Bentuk akar di penyebut membuat nilai pecahan sulit dibayangkan dan dihitung.
Bayangkan penyebut pecahan seperti permukaan jalan. Jika ada bentuk akar di bawah, jalan itu seperti berlubang-lubang dan berbatu: sulit dilalui dan merepotkan saat ingin dihitung atau dijumlahkan dengan pecahan lain.
Dalam matematika, pecahan seperti $\frac{24}{2 + \sqrt{3}}$ bukannya salah, melainkan belum dalam bentuk standar. Sejak era sebelum kalkulator, membagi angka bulat dengan bilangan irasional desimal tak berujung (seperti $\sqrt{3} \approx 1{,}732\dots$) dengan pembagian susun adalah mimpi buruk.
Oleh karena itu, ada kesepakatan baku untuk meratakan jalan tersebut. Proses mengubah penyebut pecahan yang memuat akar menjadi bilangan rasional (bilangan bulat) disebut merasionalkan penyebut. Nilai pecahannya tetap sama persis, hanya tampilannya yang dibuat rapi dan ramah dihitung.
Apa tujuan utama kita melakukan rasionalisasi pada pecahan yang memiliki bentuk akar di bagian penyebut?
- Menghilangkan semua bentuk akar dari seluruh bagian pecahan.
- Mengubah penyebutnya menjadi bilangan bulat agar bentuknya lebih sederhana dan standar.
- Memperbesar nilai pecahan agar lebih mudah dihitung secara manual.
- Mengubah pembilang pecahan menjadi bilangan bulat yang bebas dari akar.
Jawaban: Mengubah penyebutnya menjadi bilangan bulat agar bentuknya lebih sederhana dan standar.
Tujuan utama merasionalkan penyebut adalah mengubah bentuk penyebut yang irasional (memuat akar) menjadi bilangan rasional atau bulat standar. Bentuk akar di pembilang tetap diperbolehkan, dan rasionalisasi tidak mengubah nilai pecahan sama sekali.
Tujuan utama merasionalkan penyebut adalah mengubah penyebut menjadi bilangan rasional (bulat).
Senjata Rahasia: Bentuk Sekawan
Mengalikan dengan bentuk sekawan akan menghilangkan akar berkat sifat selisih kuadrat.
Untuk meratakan penyebut $(2 + \sqrt{3})$, kita butuh 'cetakan penambal' yang tepat, yaitu bentuk sekawan. Bentuk sekawan dari suatu penjumlahan $(a + b)$ adalah pengurangannya, $(a - b)$, dan sebaliknya.
Kenapa sekawan begitu ampuh? Kuncinya ada pada sifat aljabar perkalian selisih kuadrat:
$$(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$$
Perhatikan bahwa suku silang $-ab$ dan $+ba$ saling meniadakan menjadi nol! Yang tersisa hanyalah kuadrat dari masing-masing suku.
Mari kita terapkan sifat ini pada penyebut pecahan kita:
$$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = (2)^2 - (\sqrt{3})^2$$
Karena $(\sqrt{3})^2 = 3$, maka perhitungannya menjadi:
$$(2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$$
Akar di penyebut lenyap seketika dan berganti menjadi angka $1$ yang sangat sederhana!
Tentukan apakah masing-masing pernyataan berikut Benar atau Salah terkait bentuk sekawan dan perkalian selisih kuadrat!
- Bentuk sekawan dari (5 - √2) adalah (5 + √2). — Benar
- Hasil kali dari (3 + √5)(3 - √5) adalah 9 - 5 = 4. — Benar
- Hasil kali dari (4 + √3)(4 - √3) adalah 16 + 3 = 19. — Salah
Pernyataan 1 Benar karena sekawan cukup membalik tanda tambah/kurang di tengah. Pernyataan 2 Benar karena (3 + √5)(3 - √5) = 3^2 - (√5)^2 = 9 - 5 = 4. Pernyataan 3 Salah karena sifat selisih kuadrat menghasilkan tanda kurang, sehingga (4 + √3)(4 - √3) = 4^2 - (√3)^2 = 16 - 3 = 13, bukan 16 + 3 = 19.
Bentuk sekawan dari (a - √b) adalah (a + √b) dan hasil kalinya adalah a^2 - b.