Bayangan Memanjang di Atap Miring

Kenapa Bentuknya Jadi Memanjang?

Benda bulat yang jatuh lurus ke bidang miring akan meninggalkan jejak yang lonjong (elips) memanjang searah kemiringan.

Sisi bercak yang tertarik memanjang searah lereng bidang miring inilah yang dinamakan Sumbu Mayor elips.

Makin curam kemiringan bidang, bidang miring akan memotong berkas vertikal secara lebih menyerong. Akibatnya, jejak yang tertinggal tidak pernah menyusut atau memendek, melainkan selalu meregang lebih panjang dari ukuran aslinya.

Sebuah pipa silinder dipotong menyamping (miring) terhadap arah memanjangnya pipa. Bentuk penampang irisan dari potongan miring pipa tersebut adalah...

  • Elips yang lebih panjang dari diameter pipa
  • Lingkaran yang ukurannya sama dengan pipa
  • Elips yang lebih pendek dari diameter pipa
  • Persegi panjang melengkung searah potongan

Jawaban: Elips yang lebih panjang dari diameter pipa

Potongan miring pada benda silindris meregangkan penampang melintang aslinya searah kemiringan, sehingga menghasilkan bentuk elips dengan sumbu terpanjang yang melebihi diameter pipa asli. Opsi B salah karena lingkaran hanya terbentuk bila dipotong tegak lurus sumbu pipa. Opsi C salah karena kemiringan memperpanjang bidang irisan, bukan memadatkan atau memperpendeknya. Opsi D salah karena irisan silinder tertutup kurva halus elips.

Benda dengan penampang lingkaran yang jatuh vertikal atau dipotong miring ke bidang miring menghasilkan jejak berbentuk elips yang lebih panjang dari diameter aslinya.

Segitiga di Balik Tetesan Hujan

Cosinus sudut kemiringan menghubungkan panjang mendatar asli dengan panjang jejak miring menggunakan konsep rasio Samping/Miring.

Jika peristiwa tetesan air hujan vertikal yang mengenai atap miring kita lihat tepat dari profil samping, irisannya membentuk segitiga siku-siku yang rapi.

Diagram penampang samping tetesan air hujan vertikal mengenai atap miring, memperlihatkan segitiga siku-siku dengan sisi samping dan sisi miring.

Dalam geometri penampang ini:

Dalam kasus atap rumah ini:

$$\cos \alpha = \frac{\text{Radius Asli}}{\text{Sumbu Mayor}}$$

Artinya, nilai Cosinus sudut kemiringan atap tepat menyatakan perbandingan antara ukuran mendatar asli dengan panjang jejak pada atap miring.

Segitiga siku-siku terbentuk oleh tangga yang bersandar di dinding. Jarak kaki tangga ke dinding adalah alas mendatar, dan panjang tangga adalah sisi miring. Tentukan kebenaran pernyataan berikut tentang sudut antara tangga dan lantai!

  • Nilai Cosinus sudut tersebut dicari dengan membagi jarak mendatar kaki tangga dengan panjang tangga. — Benar
  • Panjang dinding (sisi tegak) dibutuhkan untuk mencari nilai Cosinus. — Salah

Pernyataan 1 Benar karena definisi cosinus sudut adalah sisi samping (jarak mendatar kaki tangga ke dinding) dibagi sisi miring (panjang tangga). Pernyataan 2 Salah karena panjang dinding merupakan sisi depan (tegak) terhadap sudut lantai, yang digunakan untuk rasio sinus atau tangen, bukan cosinus.

Cosinus adalah perbandingan antara sisi mendatar yang mengapit sudut (samping) dengan lintasan miring (miring).

Menghitung Sumbu Mayor

Panjang jejak miring didapatkan dengan membagi radius asli dengan nilai cosinus, yang secara matematis menghasilkan nilai yang lebih besar.

Dari hubungan dasar $\cos \alpha = \frac{\text{Radius}}{\text{Sumbu Mayor}}$, kita dapat membalik rumus aljabar segitiga tersebut untuk mencari Sumbu Mayor:

$$\text{Sumbu Mayor} = \frac{\text{Radius Asli}}{\cos \alpha}$$

Diagram piramida rumus trigonometri dengan Radius di puncak serta Sumbu Mayor dan Cos alpha di dasar.

Pada soal atap rumah:

Substitusikan nilai tersebut ke dalam rumus:

$$\text{Sumbu Mayor} = \frac{1}{\frac{2}{5}} = 1 \times \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\text{ mm}$$

Hasil ini cocok dengan Opsi D ($\frac{5}{2}\text{ mm}$). Perhatikan bahwa membagi dengan pecahan kurang dari $1$ menghasilkan angka yang lebih besar dari radius aslinya, sesuai dengan fakta fisis bahwa jejaknya meregang memanjang.

Sinar laser dengan lebar mendatar $3\text{ cm}$ ditembakkan vertikal ke selembar kertas miring. Diketahui nilai Cosinus sudut kemiringan kertas adalah $\frac{3}{4}$. Berapakah panjang jejak sinar laser pada kertas tersebut?

  • $\frac{9}{4}\text{ cm}$
  • $4\text{ cm}$
  • $\frac{3}{4}\text{ cm}$
  • $3\text{ cm}$

Jawaban: $4\text{ cm}$

Panjang jejak pada bidang miring dihitung dengan membagi lebar mendatar asli dengan cosinus sudut kemiringan: $3 / \left(\frac{3}{4}\right) = 3 \times \frac{4}{3} = 4\text{ cm}$. Opsi A salah karena mengalikan lebar mendatar dengan cosinus ($3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$), yang justru memperpendek jejak. Opsi C salah karena hanya mengambil nilai cosinus tanpa memperhitungkan lebar awal. Opsi D salah karena menganggap jejak tidak mengalami peregangan sama sekali.

Membagi suatu bilangan dengan pecahan kurang dari 1 merepresentasikan peregangan (pembesaran) panjang proyeksi miring.