Program Linear: Mencari Batas dari Nilai Maksimum

Daerah Penyelesaian & Titik Pojok

Daerah penyelesaian adalah semua kombinasi produksi yang mungkin dilakukan tanpa melanggar batas, dan titik pojok adalah kombinasi saat bahan sudah mentok dihabiskan.

Karena jumlah produksi minimal adalah nol alias tidak memproduksi apa-apa sama sekali, titik terendah yang mungkin selalu berada di titik asal $(0, 0)$. Pada titik $(0, 0)$, nilai keuntungan dari $f(x, y) = x + y$ adalah $0 + 0 = 0$. Fakta ini membuktikan bahwa Opsi E salah, karena nilai minimum himpunan penyelesaian adalah $0$, bukan $1$.

Prinsip utama dalam program linear menyatakan bahwa nilai paling menguntungkan (maksimum) atau paling hemat (minimum) selalu berada di ujung-ujung terluar daerah aman, yaitu di Titik Pojok. Titik pojok merupakan kondisi "mentok" ketika satu atau kedua bahan baku terpakai habis seluruhnya. Pada visualisasi di atas, saat batas bahan $b$ digeser, luas daerah penyelesaian ikut menyesuaikan, tetapi kandidat nilai optimal akan selalu bertumpu pada titik-titik pojok tersebut.

Mencari Titik Potong Dua Garis

Meskipun sebuah batas bahan belum ketahuan angkanya (berbentuk huruf), titik potong dua batas tetap bisa dicari dengan aljabar.

Titik pojok yang paling krusial biasanya adalah titik persimpangan saat dua bahan baku habis terpakai bersamaan. Persimpangan ini terbentuk dari perpotongan garis $2x + y = 8$ dan garis $x + 2y = b$. Karena nilai $b$ belum diketahui, kita selesaikan koordinat $(x, y)$ dalam bentuk aljabar simbolik menggunakan metode substitusi secara bertahap.

Dengan langkah tersebut, kita memperoleh koordinat titik potong kedua garis batas dalam bentuk parameter $b$, yaitu:

$$\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right)$$

Koordinat berhuruf ini adalah representasi matematis dari salah satu titik pojok utama daerah penyelesaian kita sebelum nilai kapasitas bahan $b$ terungkap.

Membongkar Soal dari Target

Ketika nilai fungsi tujuan (target) maksimum sudah diketahui, kita bisa menjadikannya petunjuk kuat untuk menemukan angka pembatas $b$.

Tipe persoalan ini sering disebut masalah terbalik (inverse problem): alih-alih mencari nilai maksimum dari sistem pertidaksamaan yang lengkap, kita justru mencari angka pembatas sistem berdasarkan hasil maksimum yang sudah diberikan di awal. Soal menyatakan bahwa nilai maksimum dari Fungsi Tujuan $f(x, y) = x + y$ adalah $5$.

Mari kita uji titik potong berhuruf $\left(\frac{16 - b}{3}, \frac{2b - 8}{3}\right)$ yang kita peroleh sebelumnya ke fungsi tujuan $f(x, y) = x + y$:

$$f(x, y) = \frac{16 - b}{3} + \frac{2b - 8}{3} = \frac{(16 - 8) + (-b + 2b)}{3} = \frac{8 + b}{3}$$

Titik pojok maksimum tersebut tepat berada pada koordinat $(3, 2)$, sehingga Opsi B benar. Jika kita bandingkan dengan titik pojok lain pada sumbu $y$ yaitu $(0, \frac{b}{2}) = (0, 3{,}5)$, nilai fungsinya hanya $0 + 3{,}5 = 3{,}5$, sehingga nilai $5$ di titik $(3, 2)$ memang terbukti menjadi nilai tertinggi.