Fungsi Periodik: Logika Aljabar Input dan Output

Input yang Berubah, Output yang Tetap

Pernahkah kamu melihat soal dengan persamaan seperti $f(x+3) = f(x)$ dan secara refleks berpikir, "Oh, berarti kalau inputnya ditambah 3, nilainya ikutan nambah 3"? Kalau iya, wajar banget! Ini adalah salah satu miskonsepsi paling umum.

Sebenarnya, persamaan $f(x+3) = f(x)$ punya makna yang bertolak belakang dari dugaan itu. Persamaan ini adalah cara aljabar untuk bilang: "Walaupun kamu menambahkan 3 pada input ($x$), nilai output fungsinya ($f(x)$) justru TETAP SAMA." Ini adalah definisi formal dari fungsi periodik dengan periode 3. Fungsinya terus mengulang nilai yang sama setiap jarak 3 satuan.

Mari kita buktikan dengan data di soal. Diketahui $f(1) = 5$. Berdasarkan aturan $f(x+3) = f(x)$, kalau kita masukkan $x = 1$, kita dapatkan: $f(1+3) = f(1)$ $f(4) = 5$

Perhatikan baik-baik: Nilai $f(4)$ BUKAN $5 + 3 = 8$, melainkan tetap $5$. Operasi penambahan $+3$ itu hanya terjadi di dalam kurung (pada sumbu-x), yang artinya kita melompat sejauh 3 langkah, namun posisi ketinggian grafik (sumbu-y) tidak berubah sama sekali.

Bukti Aljabar: Melompat Sejauh 3n

Kita sudah tahu kalau $f(1) = 5$, maka $f(4)$ juga pasti $5$. Tapi, bagaimana kalau kita melompat dua kali? Apakah sifatnya masih berlaku?

Karena persamaan $f(x+3) = f(x)$ berlaku untuk setiap bilangan real $x$, kita bisa menggunakan sifat ini berulang-ulang untuk memperluas jangkauannya sejauh yang kita mau.

Mari kita buktikan secara aljabar untuk lompatan dua kali, yaitu $f(x+6)$. Kita bisa menulis ulang ekspresi ini dengan memecah lompatannya: $f(x+6) = f((x+3) + 3)$

Sekarang, anggaplah kita punya variabel baru, $u = x+3$. Persamaannya menjadi $f(u+3)$. Berdasarkan aturan dasar fungsi kita, $f(u+3)$ sama dengan $f(u)$. Kalau kita kembalikan lagi nilai $u$-nya, kita dapatkan: $f((x+3)+3) = f(x+3)$

Dan kita sudah tahu dari awal bahwa $f(x+3) = f(x)$. Jadi, kita baru saja membuat rantai pembuktian logis yang solid: $f(x+6) = f(x+3) = f(x)$

Secara induktif, ini membuktikan sebuah aturan umum yang sangat powerful. Untuk bilangan bulat $n$ berapapun (baik positif maupun negatif), berlaku persamaan: $f(x+3n) = f(x)$

Artinya, kamu bebas menambah atau mengurangi kelipatan 3 dari input sesuka hatimu, dan nilai fungsinya dijamin tidak akan berubah!

Algoritma Pembagian untuk Angka Besar

Di langkah sebelumnya, kita udah nemuin alat pamungkas: $f(x+3n) = f(x)$. Tapi pas ketemu angka besar kayak $f(11)$, wajar kalau kamu sempat nge-blank dan bingung cara ngubahnya ke data yang ada (0, 1, atau 2). Masa iya harus ngurangin 3 manual satu-satu? Lama-lama keriting jarinya!

Di sinilah kita memanfaatkan algoritma pembagian.

Konsep inti pembagian bersisa mengajarkan bahwa angka berapapun (sebut saja $X$) bisa diekspresikan sebagai: $X = \text{Pembagi} \times \text{Hasil Bagi} + \text{Sisa}$

Karena fungsi kita berulang setiap kelipatan 3, kita pakai 3 sebagai pembagi. Tujuan kita adalah membuang semua lompatan kelipatan 3 (yang kita tahu tidak mengubah nilai fungsi), sehingga kita hanya menyisakan sisa pembagiannya. Sisanya inilah yang akan selalu jatuh di rentang yang kita tahu (yaitu 0, 1, atau 2).

Mari kita bedah input pertama dari soal, yaitu $11$. Kalau 11 dibagi 3, hasilnya adalah 3, dengan sisa 2. Secara aljabar, kita tulis: $11 = 2 + 3(3)$.

Substitusikan bentuk ini ke dalam fungsi kita: $f(11) = f(2 + 3 \times 3)$

Sesuai dengan rumus umum $f(x+3n) = f(x)$ yang barusan kita buktikan, buang saja kelipatan tiganya! Kita langsung tahu bahwa: $f(11) = f(2)$