Operasi Akar: Standarisasi dan Urutan

Menstandarkan Bentuk Akar

Bentuk akar yang besar harus disederhanakan terlebih dahulu agar memiliki basis yang sama dan bisa dioperasikan.

Bayangkan kita sedang mengelola jalur perakitan di pabrik. Bentuk akar seperti $\sqrt{8}$ dan $\sqrt{50}$ adalah bahan baku mentah dengan ukuran yang belum seragam. Agar mesin perakitan dapat menggabungkannya, kita harus menstandarkan komponen tersebut ke ukuran terkecil yang sejenis. Caranya adalah dengan memisahkan faktor kuadrat sempurna terbesarnya menggunakan sifat $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$.

Diagram ekstraksi bentuk akar dari 50 menjadi 5 akar 2 melalui faktorisasi kuadrat terbesar 25 kali 2.

Pada $\sqrt{8}$, faktor kuadrat terbesarnya adalah $4$:

$$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

Begitu pula pada $\sqrt{50}$, faktor kuadrat terbesarnya adalah $25$:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Bentuk sederhana dari $\sqrt{72}$ adalah...

  • $6\sqrt{2}$
  • $2\sqrt{6}$
  • $36\sqrt{2}$
  • $2\sqrt{36}$

Jawaban: $6\sqrt{2}$

72 dipecah menjadi faktor kuadrat terbesarnya, yaitu $36 \times 2$. Nilai $\sqrt{36}$ adalah 6, sehingga hasilnya menjadi $6\sqrt{2}$. Pengecoh $36\sqrt{2}$ lupa menarik nilai akar dari 36, sedangkan $2\sqrt{6}$ dan $2\sqrt{36}$ membagi faktor tanpa aturan kuadrat yang tepat atau tertukar posisi.

Bentuk akar disederhanakan dengan menarik keluar akar dari faktor kuadrat sempurnanya.

Hati-hati Membagi Akar

Angka bulat tidak bisa langsung membagi angka di dalam akar.

Ketika melihat bentuk pembagian seperti $4 : \sqrt{2}$, godaan terbesarnya adalah langsung membagi angka $4$ dengan $2$ menjadi $2$. Namun, membagi angka biasa dengan akar tidak sama seperti pembagian bulat biasa. Mengapa? Karena $\sqrt{2}$ bukanlah $2$, melainkan bilangan irasional dengan nilai desimal sekitar $1,414$. Membagi $4$ dengan $1,414$ menghasilkan sekitar $2,828$, bukan $2$.

Agar mesin perakitan kita bisa memproses pembagian ini dengan rapi, kita gunakan teknik merasionalkan penyebut, yaitu mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk akar yang sama:

$$\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$

Sekarang kita terapkan teknik ini pada suku tengah dari soal kita:

$$\frac{4}{\sqrt{50}} = \frac{4}{5\sqrt{2}}$$

Kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{2}$:

$$\frac{4}{5\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{4\sqrt{2}}{10} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$$

Penyebut kini sudah terbebas dari tanda akar dan siap masuk ke tahap perakitan berikutnya.

Pilih Benar atau Salah untuk setiap pernyataan berikut tentang pembagian bentuk akar.

  • Hasil dari $6 : \sqrt{3}$ adalah 2. — Salah
  • Merasionalkan pecahan $\frac{2}{\sqrt{5}}$ berarti mengalikan atas dan bawah dengan $\sqrt{5}$. — Benar

Pernyataan 1 Salah karena $\sqrt{3} \approx 1,732$, sehingga $6 : \sqrt{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$, bukan 2. Pernyataan 2 Benar karena mengalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{5}$ bernilai sama dengan mengalikan 1 (tidak mengubah nilai pecahan), sekaligus membebaskan penyebut dari tanda akar.

Angka bulat dibagi bentuk akar diselesaikan dengan merasionalkan penyebut.

Hierarki Operasi (Kabataku)

Operasi perkalian dan pembagian harus dikerjakan lebih dulu sebelum penjumlahan dan pengurangan, meskipun urutan penulisannya di belakang.

Setelah komponen distandarkan dan penyebut dirasionalkan, mari kita tulis ulang ekspresi dari soal:

$$(2\sqrt{2} \times 3) - \left(\frac{4}{5\sqrt{2}}\right) + (2 \times \sqrt{2})$$

Dalam jalur perakitan, aturan Kabataku (Kali, Bagi, Tambah, Kurang) menentukan mesin mana yang harus memproses bahan terlebih dahulu. Kita tidak boleh mengerjakan operasi dari kiri ke kanan secara membabi buta.

Diagram blok hierarki operasi Kabataku pada ekspresi matematika soal.

Selesaikan ketiga blok perkalian dan pembagian secara serentak:

  1. Perkalian pertama: $2\sqrt{2} \times 3 = 6\sqrt{2}$

  2. Pembagian tengah: $\frac{4}{5\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$

  3. Perkalian kedua: $2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Setelah ketiga blok selesai diproses, bentuk ekspresi menjadi:

$$6\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{5} + 2\sqrt{2}$$