Peluang Bersyarat: Ketika Dua Kandidat Berseteru

Menerjemahkan Batasan ke Skenario

Syarat 'dua orang tidak boleh bersama' berarti kita harus mendata susunan yang sah dan membuang susunan yang terlarang.

Bayangkan kamu sedang menyusun roster tim e-sports dengan kuota tepat $4$ pemain. Di bangku cadangan ada $10$ kandidat ($6$ developer berstatus pemain senior dan $4$ developer berstatus pemain junior). Masalahnya, dua pemain senior bernama Budi dan Candra sedang berselisih (rival). Mereka menolak keras jika harus duduk di satu tim yang sama.

Secara logika pemilihan anggota, ada tiga kemungkinan komposisi tim yang memenuhi aturan (sah):

1. Budi masuk, tetapi Candra ditinggal. Kuota tim terisi tanpa memicu konflik.

2. Candra masuk, tetapi Budi ditinggal. Tim tetap kondusif.

3. Keduanya sama-sama ditinggal. Tim diisi oleh kandidat lainnya.

Satu-satunya skenario yang terlarang adalah ketika Budi dan Candra sama-sama masuk ke dalam tim.

Banyak kesalahan berawal dari mengira syarat 'tidak boleh bersama' cukup diselesaikan dengan langsung mencoret orang secara acak tanpa memetakan skenarionya. Memahami bahwa ada kondisi sah dan kondisi terlarang adalah kunci sebelum masuk ke hitungan aljabar.

Mencari Ruang Sampel: Trik Komplemen

Menghitung total tim yang mungkin sering kali lebih cepat menggunakan Metode Komplemen, yaitu total kemungkinan tanpa syarat dikurangi kemungkinan terlarang.

Untuk menentukan ukuran Ruang Sampel ($n(S)$), yaitu total cara membentuk tim $4$ orang yang sah, kita bisa memecah ke dalam $3$ kasus sah atau menggunakan trik komplemen yang jauh lebih ringkas.

Mari kita hitung menggunakan Metode Komplemen:

1. Total kombinasi tanpa syarat: Pilih $4$ orang dari seluruh $10$ kandidat yang tersedia menggunakan rumus kombinasi:

   $$C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$$

2. Kondisi terlarang (Budi dan Candra dipaksa bersama): Kunci Budi dan Candra di dalam tim. Karena mereka sudah mengambil $2$ slot, tersisa $2$ slot lagi yang harus dipilih dari $8$ kandidat tersisa:

   $$C(8, 2) = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$

3. Total tim yang sah ($n(S)$):

   $$n(S) = 210 - 28 = 182$$

Menghitung Kejadian Target ($n(A)$)

Kejadian yang diharapkan (tepat $2$ senior dan $2$ junior) juga bisa dihitung dengan metode komplemen dengan memastikan pembagian role tidak berantakan.

Target kita adalah kejadian $A$, yaitu tim memiliki komposisi tepat $2$ developer senior dan $2$ developer junior tanpa menghadirkan Budi dan Candra secara bersamaan.

Mari kita terapkan lagi Metode Komplemen khusus pada komposisi role ini:

1. Target ideal tanpa syarat perseteruan: Pilih $2$ senior dari $6$ senior, lalu pilih $2$ junior dari $4$ junior:

   $$n(A)_{\text{total}} = C(6, 2) \times C(4, 2) = 15 \times 6 = 90$$

   (Angka $90$ inilah yang memicu godaan pada Opsi E ketika dipasangkan dengan ruang sampel yang keliru).

2. Target pada kondisi terlarang (Budi dan Candra bersama): Perhatikan posisi role mereka: Budi dan Candra keduanya adalah pemain Senior. Jika keduanya dimasukkan ke tim, maka kuota $2$ senior sudah langsung terisi penuh! Akibatnya, kita tidak boleh lagi mengambil senior lain. Sisa $2$ slot yang kosong wajib diisi oleh junior:

   $$n(A)_{\text{terlarang}} = C(2, 2)_{\text{senior}} \times C(4, 2)_{\text{junior}} = 1 \times 6 = 6$$

3. Banyaknya tim target yang sah ($n(A)$):

   $$n(A) = 90 - 6 = 84$$