Teorema Sisa: Membedah Pembuat Nol & Sisa Aljabar

Asal Mula Teorema Sisa

Sisa pembagian polinomial oleh $(x - k)$ selalu persis sama dengan nilai polinomial tersebut ketika disubstitusikan $x = k$.

Secara umum, setiap pembagian bentuk aljabar selalu memenuhi hubungan dasar:

$$\text{Yang Dibagi} = (\text{Pembagi} \times \text{Hasil Bagi}) + \text{Sisa}$$

Jika kita tuliskan untuk suatu polinomial $P(x)$ yang dibagi oleh $(x - k)$ dengan hasil bagi $H(x)$ dan sisa konstanta $S$, bentuknya menjadi:

$$P(x) = (x - k) \cdot H(x) + S$$

Hubungan ini berlaku untuk semua nilai $x$. Sekarang, perhatikan apa yang terjadi saat kita memasukkan nilai pembuat nol dari pembagi, yaitu $x = k$:

$$P(k) = (k - k) \cdot H(k) + S = 0 \cdot H(k) + S = S$$

Suku pengali $(x - k) \cdot H(x)$ lenyap sepenuhnya menjadi nol karena dikalikan nol. Hasil bagi $H(x)$ yang rumit tidak perlu kita ketahui sama sekali, karena langsung tereliminasi dan menyisakan nilai $S$. Inilah alasan mendasar di balik Teorema Sisa: membagi polinomial $f(x)$ dengan $(x - 2)$ dan menghasilkan sisa $5$ secara langsung berarti nilai fungsi saat $x = 2$ adalah $f(2) = 5$.

Berdasarkan prinsip ini, pernyataan pada Opsi A yang menyatakan bahwa nilai $f(2) = 5$ terbukti benar.

Sisa Tak Selalu Konstanta

Pembagi dengan derajat kuadrat (pangkat dua) dapat menghasilkan sisa berupa polinomial berderajat maksimal satu (berbentuk $ax + b$).

Bayangkan pembagian polinomial seperti mesin giling material:

• Polinomial adalah bahan dasar yang dimasukkan.

• Pembagi adalah saringan atau pisau penggiling.

• Hasil bagi adalah material halus yang berhasil diolah.

• Sisa adalah ampas yang tersangkut karena tidak bisa digiling lagi.

Jika mesin penggiling berderajat 1 (linear), ampas yang tersisa tidak mungkin lagi mengandung variabel $x$, sehingga hanya berupa angka konstanta (derajat 0). Namun, jika mesin penggilingnya memiliki kapasitas kuadrat (derajat 2), ampas yang tertinggal bisa lebih besar, yaitu memiliki derajat sisa maksimal satu derajat di bawah pembaginya: berderajat 1 (berbentuk $ax + b$).

Karakteristik sisa berderajat 1 ini terlihat jelas pada fungsi $g(x)$ dari soal. Diketahui $g(x)$ dibagi oleh pembagi kuadrat $(x^2 - 4)$ dan menghasilkan sisa $(x + 1)$. Bentuk persamaan pembagiannya adalah:

$$g(x) = (x^2 - 4) \cdot H(x) + (x + 1)$$

Perhatikan bahwa pembagi kuadrat $(x^2 - 4) = (x - 2)(x + 2)$ memiliki dua pembuat nol, yaitu $x = 2$ dan $x = -2$. Ketika kita memasukkan nilai-nilai ini, bagian $(x^2 - 4) \cdot H(x)$ akan lenyap menjadi 0, sehingga nilai fungsi langsung ditentukan oleh bentuk sisanya:

1. Untuk $x = 2$:

   $$g(2) = (2^2 - 4) \cdot H(2) + (2 + 1) = 0 + 3 = 3$$

2. Untuk $x = -2$ (perhatikan tanda negatif dengan teliti):

   $$g(-2) = ((-2)^2 - 4) \cdot H(-2) + (-2 + 1) = 0 + (-1) = -1$$

Operasi Gabungan Dua Fungsi

Sisa hasil operasi fungsi seperti $f(x) - g(x)$ pada titik tertentu dicari dengan mengurangkan sisa masing-masing fungsi pada titik yang sama.

Misalkan kita mendefinisikan suatu fungsi selisih baru, yaitu $h(x) = f(x) - g(x)$. Berdasarkan Teorema Sisa, jika kita ingin mengetahui sisa pembagian $h(x)$ oleh $(x - 2)$ dan $(x + 2)$, kita cukup mengevaluasi nilai fungsi gabungan tersebut pada pembuat nol masing-masing pembagi, yakni $h(2)$ dan $h(-2)$.

Dari data yang sudah kita kumpulkan sebelumnya:

• Nilai fungsi pertama: $f(2) = 5$ dan $f(-2) = -3$ (karena $f(x)$ dibagi $x+2$ bersisa $-3$).

• Nilai fungsi kedua: $g(2) = 3$ dan $g(-2) = -1$.

Untuk sisa pembagian $h(x)$ oleh $(x - 2)$, kita hitung nilai $h(2)$:

$$h(2) = f(2) - g(2) = 5 - 3 = 2$$

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi C (sisa pembagian $f(x) - g(x)$ oleh $(x - 2)$ adalah $2$) bernilai benar.

Sekarang, perhatikan evaluasi sisa pembagian oleh $(x + 2)$, yaitu nilai $h(-2)$. Di sinilah ketelitian tanda aljabar sangat krusial:

Ketika mengurangkan dengan bilangan negatif, gunakan tanda kurung pengaman:

$$h(-2) = f(-2) - g(-2) = (-3) - (-1) = -3 + 1 = -2$$