Program Linear: Batas Area dan Titik Pojok
Pagar Batas Pasti Membatasi
Sebuah syarat pertidaksamaan bertindak sebagai batas mutlak yang tidak mungkin ditembus oleh titik mana pun di dalam area tersebut.
Bayangkan kita sedang membangun taman berpagar. Pertidaksamaan seperti $3x + y \le 9$ berfungsi persis seperti tembok pagar fisik yang kokoh. Area taman tempat kita boleh beraktivitas, yang dinamakan daerah penyelesaian, selalu berada di dalam atau pas menempel pada tembok tersebut.
Banyak yang mengira kita harus menggambar seluruh grafik dan menguji semua titik hanya untuk mengetahui nilai terbesar dari suatu fungsi. Padahal, jika kita ditanya berapa nilai maksimum dari fungsi tujuan $g(x, y) = 3x + y$ pada area tersebut, jawabannya sudah tertulis di dinding pagar itu sendiri: nilainya mentok di angka $9$. Karena aturan bakunya adalah $3x + y \le 9$, titik mana pun di dalam area tersebut tidak mungkin menghasilkan nilai lebih dari $9$. Kenyataan ini membuktikan secara langsung bahwa Opsi D benar tanpa perlu uji titik berulang kali.
Sebuah lahan parkir dibatasi oleh aturan luas kendaraan yang diformulasikan sebagai $5x + 2y \le 50$. Tentukan kebenaran pernyataan berikut terkait lahan parkir tersebut:
- Nilai maksimum dari 5x + 2y pada daerah tersebut bisa mencapai 55 jika kita menemukan titik yang tepat. — Salah
- Nilai tertinggi dari 5x + 2y pasti tepat 50 jika ada titik penyelesaian yang berada pas di garis pembatas. — Benar
Pernyataan 1 Salah karena batasan 5x + 2y <= 50 merupakan batas mutlak, sehingga di dalam daerah tersebut nilai 5x + 2y tidak mungkin melebihi 50. Pernyataan 2 Benar karena setiap titik yang terletak pas di garis pembatas 5x + 2y = 50 akan menghasilkan nilai tepat 50, yang merupakan nilai tertinggi yang dapat dicapai.
Fungsi tujuan yang sebangun dengan garis batas tidak akan melampaui konstanta batas tersebut.
Berhenti Menebak Titik Pojok
Titik pojok kritis tempat bertemunya nilai maksimum fungsi dengan garis pembatas harus dicari secara akurat menggunakan sistem persamaan linear, bukan dengan menebak kombinasi angka.
Pada analogi taman berpagar, titik pojok adalah patok-patok di sudut pertemuan pagar tempat kita biasanya mendapatkan jarak terjauh atau nilai optimum. Kita tahu bahwa nilai maksimum $x + y$ adalah $5$. Jika kita sekadar menebak angka sembarang yang berjumlah $5$, misalnya memilih $x = 4$ dan $y = 1$, kita akan celaka. Jika titik tebakan $(4, 1)$ dimasukkan ke pagar $3x + y \le 9$, hasilnya menjadi $3(4) + 1 = 13$, yang jelas menabrak dan menembus pagar pembatas ($13 > 9$).
Cara yang benar dan sistematis adalah mencari titik temu antara garis pagar $3x + y = 9$ dan garis target nilai maksimum $x + y = 5$:
Ubah persamaan kedua menjadi $y = 5 - x$.
Substitusikan ke persamaan pertama:
$$3x + (5 - x) = 9 \implies 2x + 5 = 9 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$
Hitung nilai $y$:
$$y = 5 - 2 = 3$$
Dengan perhitungan aljabar yang kokoh ini, kita memperoleh titik potong di koordinat $(2, 3)$. Fakta ini memastikan bahwa Opsi B benar.
Kita mencari titik kritis dari perpotongan target profit $x + y = 6$ dan batas mesin $2x + y \le 8$. Mengapa kita tidak boleh sembarang memilih titik $(5, 1)$ meskipun $5 + 1 = 6$?
- Karena penjumlahan 5 + 1 belum mencapai profit maksimum yang sebenarnya.
- Karena titik (5, 1) membuat nilai 2x + y menjadi 11, yang berarti melebihi batas mesin.
- Karena angka 5 lebih besar dari angka 1 sehingga grafik akan menjadi tidak seimbang.
- Karena titik (5, 1) merupakan bilangan ganjil yang menyulitkan perhitungan eliminasi.
Jawaban: Karena titik (5, 1) membuat nilai 2x + y menjadi 11, yang berarti melebihi batas mesin.
Opsi B benar karena jika titik (5, 1) diuji ke batas mesin 2x + y <= 8, diperoleh 2(5) + 1 = 11, yang melanggar batas (11 > 8). Opsi A salah karena nilai profit 6 memang targetnya, masalahnya titik tersebut tidak layak secara fisik. Opsi C dan D adalah miskonsepsi tanpa dasar matematis.
Penyelesaian sistem persamaan adalah satu-satunya titik yang valid untuk titik sudut pertemuan dua garis.
Mencari Parameter yang Hilang
Konstanta atau parameter yang belum diketahui pada sebuah garis pembatas dapat dihitung dengan mensubstitusikan koordinat titik pojok valid yang dilalui oleh garis tersebut.
Sekarang kita perlu memasang pagar pembatas kedua yang rumusnya $x + 3y \le c$. Karena titik $(2, 3)$ adalah patok sudut tempat terjadinya nilai maksimum, maka garis pagar $x + 3y = c$ harus menabrak tepat di patok $(2, 3)$ tersebut.
Kita cukup memasukkan koordinat patok $x = 2$ dan $y = 3$ ke dalam persamaan garis:
$$x + 3y = c \implies 2 + 3(3) = c \implies 2 + 9 = 11 \implies c = 11$$
Nilai $c$ yang benar adalah $11$. Ini menjelaskan mengapa Opsi A salah, karena opsi tersebut menyatakan $c = 7$. Angka $7$ adalah jebakan yang muncul jika seseorang nekat menggunakan titik tebakan yang salah seperti $(4, 1)$, sebab $4 + 3(1) = 7$.
Sebuah batas kecepatan baru mengikuti pola $4x - y = k$. Garis batas ini telah dikonfirmasi melewati titik pemantauan kritis $(3, 2)$. Berapakah nilai $k$ yang sesuai untuk batas kecepatan ini?
- 1
- 5
- 10
- 14
Jawaban: 10
Opsi C benar karena dengan mensubstitusikan x = 3 dan y = 2 ke persamaan 4x - y = k, diperoleh k = 4(3) - 2 = 12 - 2 = 10. Opsi D salah karena menjumlahkan suku bukannya mengurangkan (12 + 2 = 14). Opsi B salah karena menukar posisi x dan y (4(2) - 3 = 5). Opsi A salah karena hanya menghitung 3 - 2 = 1 tanpa mengalikan koefisien.
Substitusi titik yang berada di suatu garis dapat mencari konstanta garis yang belum diketahui.