Transformasi Barisan Geometri ke Aritmetika

Pondasi Barisan Geometri

Setiap informasi kualitatif di soal adalah batas yang mengunci kemungkinan nilai variabel. Ketika suatu soal menyebutkan "tiga buah bilangan positif membentuk barisan geometri", ini bukan sekadar keterangan pembuka. Informasi ini menetapkan struktur suku-sukunya sebagai $a$, $ar$, dan $ar^2$, dengan syarat tegas bahwa nilai suku pertama harus bernilai positif ($a > 0$).

Karakteristik penting berikutnya terletak pada kata menaik. Pada barisan geometri, pertumbuhan suku yang semakin membesar untuk bilangan positif menuntut nilai rasio lebih besar dari satu ($r > 1$). Mengabaikan syarat ini sering kali memicu kesalahan: jika kita berasumsi $r = 1$, maka suku pertama dan suku kedua akan bernilai sama ($a + a = 8$), menghasilkan dugaan bahwa $a = 4$. Kesimpulan ini adalah jebakan pada Opsi D, yang tidak tepat karena barisan dengan $r = 1$ berwujud konstan, bukan barisan yang menaik.

Dari informasi bahwa jumlah suku pertama dan kedua adalah $8$, kita mengunci hubungan aljabar awal:

$$a + ar = 8$$

Dengan memfaktorkan suku sejenis, bentuk ini dapat dituliskan menjadi:

$$a(1 + r) = 8$$

Beda Konstan Aritmetika

Sifat beda konstan pada barisan aritmetika adalah jembatan untuk mengubah tiga suku menjadi satu persamaan utuh. Ketika suku ketiga dari barisan geometri dikurangi $8$, susunan bilangan tersebut mengalami perubahan wujud menjadi barisan aritmetika:

$$a,\quad ar,\quad ar^2 - 8$$

Pada barisan aritmetika, selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu bernilai tetap di setiap langkah ($U_2 - U_1 = U_3 - U_2$). Dengan menerapkan aturan ini pada ketiga suku yang terbentuk, kita merangkai persamaan:

$$ar - a = (ar^2 - 8) - ar$$

Pindahkan semua suku yang memuat variabel ke satu ruas untuk melihat polanya secara runtut:

$$ar - a = ar^2 - 8 - ar$$

$$2ar - a - ar^2 = -8$$

Kalikan kedua ruas dengan $-1$:

$$ar^2 - 2ar + a = 8$$

Faktorkan variabel $a$ dari setiap suku:

$$a(r^2 - 2r + 1) = 8$$

Bentuk di dalam kurung merupakan bentuk kuadrat sempurna, sehingga persamaan dapat disederhanakan menjadi:

$$a(r - 1)^2 = 8$$

Benturan Dua Persamaan

Ketika dua persamaan terikat pada nilai yang sama, kita bisa membenturkannya untuk mengeliminasi salah satu variabel. Dari langkah-langkah sebelumnya, kita telah membangun dua cetak biru yang sama-sama menghasilkan konstanta $8$:

$$a(1 + r) = 8 \quad \text{dan} \quad a(r - 1)^2 = 8$$

Karena ruas kanan kedua persamaan bernilai sama, ruas kiri keduanya dapat langsung disetarakan:

$$a(1 + r) = a(r - 1)^2$$

Dalam aljabar, membagi kedua ruas dengan suatu variabel memerlukan kehati-hatian khusus: variabel pembagi tidak boleh bernilai nol. Karena premis soal menegaskan bahwa ketiga bilangan tersebut adalah bilangan positif, maka nilai suku pertama dipastikan tidak nol ($a > 0$). Kita dapat dengan aman membagi kedua ruas dengan $a$:

$$1 + r = (r - 1)^2$$

$$1 + r = r^2 - 2r + 1$$

Kumpulkan semua suku ke satu ruas untuk membentuk persamaan kuadrat:

$$r^2 - 3r = 0$$

$$r(r - 3) = 0$$

Persamaan ini menghasilkan dua kemungkinan nilai: $r = 0$ atau $r = 3$. Namun, syarat awal menetapkan bahwa barisan geometri bersifat menaik ($r > 1$). Oleh karena itu, nilai yang memenuhi adalah $r = 3$.