Bongkar Rahasia Desimal Berulang
Mengenal Desimal Periodik
Desimal yang memiliki pola pengulangan tak hingga selalu dapat dinyatakan sebagai pecahan berpenyebut khusus.
Dalam matematika, bilangan seperti $0,2721\overline{2721}$ disebut sebagai desimal periodik, yaitu bilangan desimal yang angka di belakang komanya berulang terus-menerus mengikuti pola tertentu tanpa batas. Jumlah digit yang membentuk satu kelompok pola tersebut dinamakan periode. Pada bilangan $0,27212721\dots$, terdapat $4$ digit yang berulang teratur ($2, 7, 2,$ dan $1$), sehingga periodenya adalah $4$.
Pada desimal berhingga biasa seperti $0,25$, kita dengan mudah mengubahnya menjadi pecahan berpenyebut $100$ karena digitnya berhenti di persepuluhan dan perseratusan. Namun, pada desimal berulang, digitnya tidak pernah berhenti. Jika kita mencoba memakai penyebut kelipatan sepuluh biasa seperti $10$, $100$, atau $10.000$, desimal tersebut tidak akan pernah tertampung seutuhnya karena "ekor" angkanya melaju hingga tak terhingga. Oleh karena itu, kita membutuhkan cara aljabar khusus untuk mengubah bilangan ini menjadi pecahan rasional.
Memotong Ekor Tak Hingga
Mengalikan bilangan desimal berulang dengan kelipatan puluhan bertujuan menggeser koma tepat satu periode untuk saling mengurangkan bagian tak hingganya.
Kita dapat menyelesaikan bilangan ini dengan metode aljabar formal. Misalkan bilangan tersebut adalah $x$:
$$x = 0,27212721\dots$$
Karena periode pengulangannya sepanjang $4$ digit, kita kalikan kedua ruas persamaan dengan $10^4 = 10.000$. Secara intuitif pada Pita Berpola Tak Hingga, langkah ini sama seperti menggeser pita sejauh satu siklus penuh pola agar motifnya sejajar sempurna dengan posisi semula:
$$10.000x = 2721,27212721\dots$$
Ketika persamaan kedua dikurangkan dengan persamaan pertama secara bersusun, seluruh digit berulang di belakang koma bernilai identik dan saling menghabisi menjadi nol:
$$10.000x - x = 2721$$
$$9999x = 2721$$
Diketahui sebuah bilangan desimal periodik $p = 0,545454\dots$. Langkah pertama yang tepat untuk menyusun persamaan aljabar guna menghilangkan ekor desimal tak hingga tersebut adalah mengalikan variabel $p$ dengan angka berapa?
- 10, karena eliminasi desimal periodik selalu diawali dengan kelipatan puluhan paling kecil.
- 100, karena terdapat 2 digit berulang sehingga koma perlu bergeser tepat dua tempat desimal.
- 1000, supaya semakin banyak angka desimal berulang yang berpindah ke bagian depan koma.
- 99, karena penyebut dari pecahan desimal berulang pada akhirnya bernilai deretan angka sembilan.
Jawaban: 100, karena terdapat 2 digit berulang sehingga koma perlu bergeser tepat dua tempat desimal.
Pola pengulangan pada 0,545454... terdiri dari 2 digit (angka 5 dan 4). Untuk menggeser koma tepat satu periode penuh agar digit di belakang koma sejajar dan bisa saling menghapuskan saat dikurangkan, kita perlu mengalikan variabel dengan 10^2 = 100. Mengalikan dengan 10 atau 1000 akan membuat digit di belakang koma tidak sejajar, sedangkan 99 adalah hasil dari selisih koefisien (100p - p), bukan faktor pengali awalnya.
Menentukan faktor pengali perpangkatan 10 berdasarkan panjang periode desimal berulang untuk menyusun persamaan aljabar.
Menyederhanakan Pecahan Akhir
Bentuk pecahan yang didapat dari persamaan aljabar harus disederhanakan dengan membagi pembilang dan penyebut secara adil.
Dari persamaan $9999x = 2721$, kita peroleh nilai pecahan rasional awalnya:
$$x = \frac{2721}{9999}$$
Agar menjadi bentuk yang paling sederhana, pembilang dan penyebut harus dibagi dengan faktor persekutuan yang sama. Jumlah digit pembilang adalah $2 + 7 + 2 + 1 = 12$ (kelipatan $3$), dan jumlah digit penyebut adalah $9 + 9 + 9 + 9 = 36$ (kelipatan $3$), sehingga kedua bilangan dapat dibagi dengan $3$:
$$\frac{2721 \div 3}{9999 \div 3} = \frac{907}{3333}$$
Hasil ini sesuai dengan Opsi B.