Aritmetika Modular Pangkat: Indeksasi Siklus

Formalisasi Himpunan Siklus

Pola berulang pada angka satuan perpangkatan dapat dirumuskan secara terstruktur menggunakan kelas ekuivalensi modulo 10. Dalam aritmetika modular, mencari angka satuan dari suatu bilangan bulat $x$ setara secara formal dengan mencari residu terkecil dari $x$ modulo 10, yang dinotasikan dengan $x \pmod{10}$.

Ketika kita meninjau barisan perpangkatan basis 7, evaluasi nilai kongruensi modulo 10 untuk setiap nilai pangkat $n$ menghasilkan urutan berikut:

$$\begin{aligned} 7^1 &\equiv 7 \pmod{10} \\ 7^2 &\equiv 49 \equiv 9 \pmod{10} \\ 7^3 &\equiv 9 \times 7 = 63 \equiv 3 \pmod{10} \\ 7^4 &\equiv 3 \times 7 = 21 \equiv 1 \pmod{10} \end{aligned}$$

Secara aljabar, perkalian berikutnya pada $n=5$ menghasilkan:

$$7^5 \equiv 7^4 \cdot 7^1 \equiv 1 \cdot 7 \equiv 7 \pmod{10}$$

Karena $7^4 \equiv 1 \pmod{10}$, perkalian selanjutnya selalu mereduksi nilai kembali ke awal. Hal ini membentuk sebuah siklus tertutup dengan himpunan nilai $S = \{7, 9, 3, 1\}$ yang memiliki kardinalitas (panjang siklus) $k = 4$.

Teorema Indeksasi Sisa

Posisi pasti sebuah elemen di dalam himpunan siklus diturunkan secara aljabar dari sisa pembagian pangkat dengan kardinalitas himpunannya. Berdasarkan Teorema Pembagian Euclidean, untuk setiap eksponen bulat positif $n$ dan panjang siklus $k$, terdapat pasangan bilangan bulat unik yaitu hasil bagi $q$ dan sisa $r$ sehingga berlaku:

$$n = qk + r \quad \text{dengan } 0 \le r < k$$

Dalam notasi modular, relasi ini menyatakan bahwa $n \equiv r \pmod k$.

Jika kita melakukan ekspansi hukum eksponen terhadap basis perpangkatan $x$ dengan panjang siklus $k = 4$, diperoleh:

$$x^n = x^{qk + r} = (x^k)^q \cdot x^r$$

Karena elemen ke-$k$ berujung pada identitas perkalian modulo 10 (yaitu $x^k \equiv 1 \pmod{10}$), suku $(x^k)^q$ tereduksi secara aljabar:

$$x^n \equiv (1)^q \cdot x^r \equiv x^r \pmod{10}$$

Penyelesaian Anomali Sisa Nol

Jika eksponen habis dibagi panjang siklus (sisa 0), kelas ekuivalensinya ekuivalen dengan posisi himpunan ke-$k$ (terakhir). Kondisi ini sering memicu keraguan ketika eksponen $n$ merupakan kelipatan bulat dari $k$, dinotasikan dengan $n \equiv 0 \pmod k$.

Secara formal, pembagian tanpa sisa berarti $r = 0$. Jika kita menggunakan rumus reduksi secara harfiah, diperoleh:

$$x^n \equiv x^0 \equiv 1 \pmod{10}$$

Pada himpunan siklus basis 7, $S = \{7, 9, 3, 1\}$, elemen yang bernilai 1 berada tepat pada posisi urutan ke-4 ($k$). Elemen dengan indeks ke-0 tidak didefinisikan dalam urutan posisi awal. Sisa 0 menunjukkan bahwa perputaran siklus telah selesai secara penuh tepat pada elemen penutup periode.