Fungsi Kuadrat & Invers: Misteri Tanda Plus-Minus

Kenapa Parabola Harus 'Dipotong'?

Bayangkan kamu melempar bola ke atas. Bola itu akan naik, mencapai titik tertinggi, lalu turun lagi. Gerakan ini membentuk kurva parabola. Di dunia matematika, fungsi kuadrat $f(x) = x^2 - 6x + 11$ juga bentuknya mirip kurva parabola itu.

Sekarang, ingat lagi konsep inti dari invers fungsi: fungsi invers bertugas membalikkan proses. Kalau $f(x) = y$, maka $f^{-1}(y) = x$. Intinya, kalau kamu punya sebuah output, kamu harus bisa melacak balik dengan pasti siapa input-nya.

Di sinilah parabola utuh bermasalah.

Coba bayangkan pada fungsi $f(x) = x^2 - 6x + 11$, kita lihat saat $y = 11$. Kalau kamu hitung atau lihat di grafik, nilai $x$ yang menghasilkan $y = 11$ itu ada dua, yaitu $x = 0$ dan $x = 6$.

Lalu, kalau kita tanya ke fungsi inversnya: "Hai Invers, kalau output-nya $11$, tadi input-nya berapa ya?" Inversnya pasti bingung. Mau jawab $0$ atau $6$? Karena fungsi harus punya tepat satu jawaban pasti (bersifat satu-satu), maka fungsi kuadrat secara alami tidak punya invers.

Biar nggak bingung, parabolanya harus kita potong tepat di tengah (sumbu simetrinya), lalu kita buang sebelahnya.

Di soal ini, fungsi dipotong dan kita cuma pakai bagian $x \ge 3$ (sisi kanan saja). Dengan memotong domain ini, grafiknya cuma naik terus (monoton naik). Kalau kamu tarik garis mendatar sekarang, garisnya cuma akan motong di satu titik. Yes, fungsinya jadi satu-satu dan siap untuk dicari inversnya!

Berdasarkan penjelasan di atas, mengapa syarat batas domain (seperti x ≥ 3) mutlak diperlukan sebelum kita bisa mencari fungsi invers dari sebuah persamaan kuadrat?

A. Karena invers kuadrat hanya bisa bernilai positif.
B. Agar perhitungan aljabar saat memfaktorkan menjadi lebih mudah dan tidak ada akar negatif.
C. Agar fungsi tersebut menjadi satu-satu, sehingga setiap nilai y hanya berasal dari satu nilai x yang pasti.
D. Karena parabola tidak memiliki titik puncak jika domainnya tidak dibatasi.

Jawaban: C. Agar fungsi tersebut menjadi satu-satu, sehingga setiap nilai y hanya berasal dari satu nilai x yang pasti.

Fungsi invers bertugas melacak balik 1 output ke tepat 1 input. Membatasi domain (memotong parabola) memastikan fungsi menjadi satu-satu, sehingga tidak ada kerancuan saat dibalik.

Fungsi kuadrat harus dibatasi domainnya agar menjadi fungsi satu-satu yang lulus uji garis horizontal sehingga memiliki invers.

Trik Aljabar 1: Kuadrat Sempurna

Sekarang kita masuk ke bagian favoritmu: manipulasi aljabar! Tujuan akhir dari mencari invers adalah membiarkan $x$ sendirian di satu sisi persamaan, alias bikin bentuk $x = \dots$

Masalahnya, lihat fungsi kita: $f(x) = x^2 - 6x + 11$

Variabel $x$-nya terpencar di dua tempat: ada yang berbentuk $x^2$ dan ada yang berbentuk $-6x$. Selama mereka terpencar, kamu sampai kapan pun nggak akan bisa memisahkan $x$ sendirian di satu ruas.

Solusinya? Kita harus melebur mereka berdua menjadi satu variabel $x$ saja menggunakan teknik yang disebut Melengkapkan Kuadrat Sempurna.

Mari kita rapikan langkahnya: $f(x) = x^2 - 6x + 11$ $f(x) = (x^2 - 6x + 9) + 2$ $f(x) = (x - 3)^2 + 2$

Nah, lihat hasilnya sekarang. Variabel $x$ yang tadinya berantakan, sekarang sudah bersatu di dalam kurung. Karena $x$-nya sisa satu, kita sekarang siap melakukan operasi invers.

Apa alasan paling utama mengapa kita perlu mengubah bentuk x² - 6x + 11 menjadi bentuk (x - 3)² + 2 sebelum menukar x dan y?

A. Agar kita mengetahui di mana sumbu-y memotong kurva.
B. Untuk melebur variabel x yang tadinya ada dua (di suku kuadrat dan linear) menjadi hanya satu variabel x, sehingga mudah diisolasi.
C. Untuk mengubah fungsi kuadrat menjadi fungsi linear (garis lurus) yang lebih mudah dibalik.
D. Agar kita bisa langsung membagi seluruh persamaan dengan x.

Jawaban: B. Untuk melebur variabel x yang tadinya ada dua (di suku kuadrat dan linear) menjadi hanya satu variabel x, sehingga mudah diisolasi.

Tujuan utama melengkapkan kuadrat dalam mencari invers adalah menyederhanakan bentuk persamaan sehingga 'x' hanya muncul satu kali dan bisa dipindah-ruaskan dengan mudah.

Bentuk kuadrat sempurna menyatukan variabel x yang terpencar sehingga bisa diisolasi saat mencari invers.

Trik Aljabar 2: Tukar dan Akarkan

Setelah fungsi kita dalam keadaan rapi, mari kita jalankan prosedur standar mencari invers. Pertama, ubah $f(x)$ menjadi $y$:

$y = (x - 3)^2 + 2$

Inti dari invers adalah menukar input jadi output dan sebaliknya. Jadi, langkah berikutnya adalah menukar posisi $x$ dan $y$:

$x = (y - 3)^2 + 2$

Sekarang misi baru kita: bongkar persamaannya untuk mendapatkan $y$ sendirian.

Langkah-langkahnya: Pindahkan $+2$ ke ruas kiri: $x - 2 = (y - 3)^2$

Nah, di sinilah momen yang paling sering menjebak. Untuk menghilangkan pangkat dua pada $(y - 3)^2$, kita harus mengakarkan kedua ruas. Tapi ingat hukum aljabar ini! Ketika kamu menarik akar dari sebuah bilangan kuadrat, hasilnya selalu memiliki kemungkinan positif dan negatif ($\pm$).

Kenapa? Karena $5^2 = 25$ dan $(-5)^2$ juga sama-sama $25$. Jadi saat kita balik $\sqrt{25}$, jawabannya bisa $+5$ atau $-5$.

Dari proses di atas, pindahkan angka $-3$ ke kiri (menjadi $+3$), sehingga kita mendapatkan dua "kandidat" kuat untuk menjadi fungsi invers:

Kandidat 1: $y = 3 + \sqrt{x - 2}$ Kandidat 2: $y = 3 - \sqrt{x - 2}$

Loh kok ada dua? Tenang, fungsi yang benar itu cuma satu. Di halaman selanjutnya kita akan menyeleksi mana yang layak menang, berdasarkan "potongan" parabola yang kita bahas di awal tadi.