Titik Potong & Rahasia Fungsi Invers

Kamus Koordinat: Apa itu Absis?

Pernah ketemu soal matematika yang pakai istilah "absis" atau "ordinat" terus bikin blank? Wajar kok, istilah ini emang agak kaku dan jarang dipakai di obrolan sehari-hari. Padahal, maksudnya simpel banget!

Bayangin bidang koordinat itu kayak peta alamat rumah. Untuk nemuin titik persis sebuah rumah, kamu butuh dua petunjuk arah:

  1. Jalan ke arah kiri-kanan (sumbu horizontal).

  2. Jalan ke arah atas-bawah (sumbu vertikal).

Nah, absis itu cuma sebutan resmi buat posisi kiri-kanan, alias sumbu x. Sedangkan ordinat adalah sebutan buat posisi atas-bawah, alias sumbu y. Jadi, kalau ada titik dengan koordinat (x, y), absisnya adalah nilai x, dan ordinatnya adalah nilai y.

Terkadang soal matematika nyebutin istilah lain kayak gradien (seberapa miring sebuah garis) atau asimtot (garis batas yang nggak pernah ditabrak grafik). Tapi untuk soal kita kali ini, abaikan dulu yang lain. Kalau soal nanya "absis", berarti yang dia cari cuma nilai x-nya aja!

Jika ada sebuah titik yang terletak pada koordinat (5, -4), berapakah nilai absis dari titik tersebut?

  • A. 5
  • B. -4
  • C. 1
  • D. 9

Jawaban: A. 5

Absis adalah sebutan untuk sumbu horizontal atau nilai x. Pada koordinat (5, -4), urutannya adalah (x, y), sehingga nilai x-nya adalah 5.

Absis adalah nama lain untuk posisi horizontal (nilai koordinat x).

Makna Geometris 'Titik Potong'

Sekarang kita udah tau kalau fokus kita adalah nyari nilai $x$. Tapi, apa sih sebenarnya yang terjadi secara visual saat ada "titik potong"?

Coba bayangin dua jalan tol yang bersilangan. Titik tempat kedua jalan itu bertemu adalah satu-satunya lokasi yang di-share oleh kedua jalan tersebut secara bersamaan. Kalau kamu berdiri di titik persimpangan itu, secara teknis kamu lagi berada di jalan A sekaligus di jalan B.

Di matematika, grafik fungsi itu ibarat jalan tolnya. "Titik potong" adalah titik pertemuan dua kurva/garis. Di titik persis ini, kedua grafik tumpang tindih. Artinya apa? Pada nilai absis (x) tertentu di lokasi itu, fungsi pertama dan fungsi kedua pasti menghasilkan nilai ordinat (y) yang sama persis!

Jadi, kalau kita mau cari absis dari titik potong antara grafik $t(x)$ dan $h(x)$, kita cuma perlu nulis persamaan $t(x) = h(x)$ lalu cari nilai $x$-nya.

Pilihlah Benar atau Salah mengenai konsep titik potong dari dua grafik fungsi!

  • Di titik potong, kedua fungsi pasti memiliki nilai absis dan ordinat yang berbeda. — Salah
  • Kita bisa mencari nilai absis dari titik potong dengan menyamakan fungsi tersebut, yaitu f(x) = g(x). — Benar

Di titik potong, kedua grafik bertumpuk, sehingga nilai x (absis) dan y (ordinat) dari kedua fungsi sama persis. Oleh karena itu, kita bisa menemukan x dengan menyamakan persamaannya: f(x) = g(x).

Titik potong adalah saat f(x) dan g(x) memiliki nilai x dan y yang persis sama.

Membongkar Fungsi Invers

Sebelum bisa main samain $t(x) = h(x)$, ada satu rintangan di soal ini: kita nggak dikasih $h(x)$, malah dikasih fungsi inversnya, yaitu $h^{-1}(x) = 2x - 11$. Terus gimana cara balikinnya biar jadi fungsi $h(x)$ yang normal?

Pikirin fungsi invers itu sebagai tombol 'undo'. Kalau fungsi asli $h(x)$ tugasnya mengubah bahan mentah ($x$) jadi kue, maka fungsi invers $h^{-1}(x)$ bertugas mengubah kue kembali jadi bahan mentah awal.

Karena mereka punya sifat bolak-balik yang saling membatalkan, ada satu identitas aljabar sakti: kalau fungsi asli kita masukin ke dalam fungsi inversnya sendiri, mereka bakal saling cancel dan cuma menyisakan variabel awalnya, yaitu $x$. Secara matematis ditulis: $h^{-1}(h(x)) = x$.

Kita bisa pakai "trik" substitusi ini buat ngebongkar $h^{-1}(x) = 2x - 11$ secara pelan-pelan tanpa harus bingung bolak-balik x dan y:

  1. Ganti semua huruf $x$ di ruas kanan dengan tulisan $h(x)$.

  2. Karena kita memasukkan $h(x)$ ke dalam fungsi $h^{-1}$, maka ruas kiri otomatis akan berubah jadi $x$ saja.

  3. Sekarang kita punya persamaan: $x = 2h(x) - 11$.

  4. Tugas akhirnya tinggal melakukan aljabar biasa buat mengisolasi $h(x)$ sendirian di satu sisi! $x + 11 = 2h(x)$ $\frac{x + 11}{2} = h(x)$

Diketahui fungsi invers f^(-1)(x) = x + 5. Jika kita menerapkan substitusi f^(-1)(f(x)) = x untuk mencari f(x) asli, bagaimana bentuk persamaannya tepat sebelum f(x) diisolasi sendirian?

  • A. x = f(x) - 5
  • B. x = f(x) + 5
  • C. f(x) = x + 5
  • D. f(x) = x - 5

Jawaban: B. x = f(x) + 5

Berdasarkan prinsip undo/kebalikan f^(-1)(f(x)) = x, kita cukup mengganti variabel x di fungsi invers dengan tulisan f(x). Karena f^(-1)(x) = x + 5, persamaannya menjadi x = f(x) + 5.

Prinsip f^(-1)(f(x)) = x digunakan untuk membalikkan fungsi dengan mensubstitusi x menjadi f(x).