Barisan Aritmetika: Membedah Rumus (n-1)
Fondasi Penambahan Konstan
Pertambahan nilai yang konstan secara berkala merupakan inti dari barisan aritmetika.
Bayangkan sebuah tangga. Lantai paling dasar tempat kita pertama kali berpijak sudah memiliki elevasi awal, yaitu suku pertama ($a$). Pada tanaman kita, pijakan awal di minggu ke-1 tingginya adalah $23\text{ cm}$ ($a = 23$).
Ketika waktu bergulir ke minggu ke-2, tingginya bertambah menjadi $26\text{ cm}$, lalu pada minggu ke-3 menjadi $29\text{ cm}$. Setiap langkah berganti minggu, ada kenaikan tetap sebesar $3\text{ cm}$. Nilai selisih yang selalu sama antar-urutan berurutan inilah yang kita sebut sebagai beda ($b = 3$).
Rahasia Di Balik (n - 1)
Jumlah lompatan yang terjadi selalu satu langkah lebih sedikit dari urutan posisi akhirnya, karena di posisi pertama kita belum melompat.
Coba perhatikan garis waktu di atas. Saat tanaman berada di minggu ke-1, ia telah memiliki tinggi awal $23\text{ cm}$ tanpa membutuhkan lompatan apa pun. Lompatan pertama baru kita ambil ketika bergerak dari minggu ke-1 menuju minggu ke-2. Begitu pula saat menuju minggu ke-4, kita hanya melakukan $3$ kali lompatan penambahan ($4 - 1 = 3$).
Banyak kekeliruan berawal dari mengalikan posisi minggu secara langsung dengan beda. Jika kita langsung menghitung $7 \times 3 = 21$ lalu menjumlahkannya dengan nilai awal $23$, kita mengasumsikan ada $7$ kali lompatan. Perhitungan $23 + (7 \times 3) = 44\text{ cm}$ inilah jebakan pada Opsi D.
Sebuah mobil balap mulai bergerak dari pos 1. Di setiap perpindahan ke pos berikutnya, mobil menempuh jeda waktu 5 menit konstan. Berapa KALI mobil harus menempuh jeda perpindahan (lompatan) hingga tiba di pos 10?
- 8 kali melintasi jeda pos
- 9 kali melintasi jeda pos
- 10 kali melintasi jeda pos
- 11 kali melintasi jeda pos
Jawaban: 9 kali melintasi jeda pos
Mobil sudah berada di pos 1 sebagai titik awal tanpa jeda tempuh. Menuju pos 10 membutuhkan perpindahan sebanyak 10 - 1 = 9 kali lompatan jeda. Opsi 10 kali keliru karena mengalikan langsung nomor pos tujuan tanpa mengurangi posisi awal. Opsi 8 kali dan 11 kali keliru karena salah menentukan banyak interval antar-pos.
Jumlah interval atau lompatan dari urutan awal ke urutan ke-n selalu bernilai (n - 1).
Merakit dan Mengeksekusi Rumus
Rumus suku ke-n merupakan gabungan rasional antara nilai permulaan dan total lompatan yang telah dilakukan.
Secara intuitif, nilai pada urutan mana pun dapat kita susun sebagai:
$$\text{Nilai Akhir} = \text{Nilai Awal} + (\text{Jumlah Lompatan} \times \text{Besar Kenaikan Tiap Langkah})$$
Dalam bahasa matematika, struktur berpikir tersebut dituliskan menjadi:
$$U_n = a + (n - 1)b$$
Sekarang kita bisa menyelesaikan persoalan tanaman pada minggu ke-7 ($n = 7$) dengan sangat efisien tanpa perlu menderetkan angka satu per satu:
Pijakan awal: $a = 23$
Selisih atau beda: $b = 3$
Banyak langkah pertambahan: $(n - 1) = 7 - 1 = 6$ langkah
$$U_7 = 23 + (7 - 1) \times 3$$
$$U_7 = 23 + 18 = 41\text{ cm}$$
Hasil $41\text{ cm}$ membuktikan bahwa Opsi C adalah jawaban yang benar.
Tabungan Siska pada bulan ke-1 adalah Rp10.000, lalu di bulan ke-2 menjadi Rp15.000, dan bulan ke-3 menjadi Rp20.000. Mengikuti pola konstan tersebut, berapakah besar tabungan Siska pada bulan ke-5?
- Rp25.000 karena berhenti di langkah ke-3
- Rp30.000 hasil dari 10.000 + 4 x 5.000
- Rp35.000 hasil dari 10.000 + 5 x 5.000
- Rp40.000 akibat kelebihan satu lompatan
Jawaban: Rp30.000 hasil dari 10.000 + 4 x 5.000
Suku pertama a = Rp10.000 dan beda b = Rp5.000. Untuk bulan ke-5 (n = 5), banyaknya lompatan penambahan adalah 5 - 1 = 4 kali. Maka U_5 = 10.000 + (4 x 5.000) = 10.000 + 20.000 = Rp30.000. Opsi Rp35.000 keliru karena mengalikan beda dengan n langsung tanpa dikurangi 1. Opsi Rp25.000 keliru karena berhenti di bulan ke-4, dan opsi Rp40.000 keliru karena menghitung 6 kali penambahan.
Menghitung nilai urutan ke-n pada pola aritmetika menggunakan rumus Un = a + (n - 1)b.