Bongkar Sistem Pertidaksamaan: Dari Tes Titik hingga Arsiran

Titik Uji Sebagai Kompas Arsiran

Arah daerah penyelesaian (DHP) suatu pertidaksamaan tidak perlu dihafal orientasi kurang-lebihnya, tapi cukup ditembak oleh satu saksi titik uji.

Menghafal aturan bahwa tanda "$\ge$" pasti selalu diarsir ke kanan atau atas sering memicu kekeliruan, terutama saat variabel memiliki koefisien negatif. Pendekatan yang paling andal ibarat menggunakan kompas: pilih satu titik sembarang di luar garis pembatas sebagai titik uji, lalu masukkan nilainya ke dalam pertidaksamaan. Jika hasilnya benar, arsirlah wilayah yang memuat titik tersebut. Sebaliknya, jika hasilnya salah, arsirlah wilayah di seberang garis yang menjauhi titik tersebut.

Analoginya seperti proses seleksi penerimaan karyawan dengan kriteria bertingkat (filter). Setiap pertidaksamaan merupakan syarat yang tidak bisa ditawar, sedangkan garis pembatas adalah ambang batasnya (cut-off). Titik uji bekerja seperti peserta titipan yang kita kirim untuk mengecek di sisi mana batas kelayakan berlaku.

Misalnya pada syarat pertama soal kita: $x + 2y \ge 4$. Kita pinjam titik termudah, yaitu $(0, 0)$. Masukkan nilainya:

$$0 + 2(0) = 0 \ge 4 \quad (\text{Salah!})$$

Karena $(0, 0)$ ditolak oleh sistem, maka seluruh wilayah yang memuat $(0, 0)$ adalah zona gagal. Arah arsiran yang benar harus menjauhi $(0, 0)$.

Ketika kita menguji Opsi A dengan titik $(0, 3)$ pada sistem:

$$0 + 2(3) = 6 \ge 4 \quad (\text{Benar})$$

Titik $(0, 3)$ berada di pihak yang benar pada syarat ini. Karena titik tersebut juga lolos pada tiga syarat seleksi lainnya, maka Opsi A benar: $(0, 3)$ merupakan anggota sah dari daerah penyelesaian $R$.

Mengepung Titik Kuadran

Daerah $R$ akan terbentuk jika dan hanya jika area lolos dari keliling berlapis pagar seleksi saling bertumpukan seluruh syaratnya.

Dalam sistem pertidaksamaan, lambang kurung kurawal ($\{$) menandakan operasi irisan (intersection). Artinya, sebuah titik tidak cukup hanya memenuhi satu atau dua aturan; titik tersebut wajib lolos dari setiap lapis seleksi tanpa terkecuali. Daerah penyelesaian (DHP) adalah wilayah tumpang-tindih paling gelap tempat semua lapisan arsiran bertemu.

Kembali ke analogi seleksi calon karyawan: seorang kandidat mungkin lolos tes tinggi badan, tetapi jika ia gagal di tes kesehatan, ia langsung gugur dari daftar akhir. Inilah yang terjadi pada Opsi D ketika menguji titik $(4, 1)$:

1. Syarat 1 ($x + 2y \ge 4$): $4 + 2(1) = 6 \ge 4$ $\rightarrow$ Lolos

2. Syarat 2 ($2x - y \le 6$): $2(4) - 1 = 7 \le 6$ $\rightarrow$ Gugur! (karena $7 > 6$)

Karena gagal pada filter kedua, titik $(4, 1)$ langsung tereliminasi dan berada di luar daerah $R$. Oleh karena itu, Opsi D salah.

Bagaimana dengan Opsi E yang membahas titik potong antara garis $x + 2y = 4$ dan $2x - y = 6$? Melalui metode eliminasi dan substitusi:

$$\begin{aligned} x + 2y &= 4 \\ 4x - 2y &= 12 \quad (\text{dikalikan } 2) \\ \hline 5x &= 16 \implies x = 3{,}2 \end{aligned}$$

Substitusikan kembali untuk mendapatkan nilai $y$:

$$3{,}2 + 2y = 4 \implies 2y = 0{,}8 \implies y = 0{,}4$$

Titik potong tersebut adalah $(3{,}2, 0{,}4)$. Perhatikan bahwa sistem kita menggunakan tanda pertidaksamaan non-ketat ($\ge$ dan $\le$), yang digambarkan sebagai garis utuh (solid line), bukan putus-putus. Selama titik batas ini tidak melanggar batas lainnya ($3{,}2 \ge -1$ dan $0{,}4 \le 5$, keduanya benar), titik potong ini menempel tepat di pagar batas dan termasuk anggota daerah $R$. Oleh karena itu, pernyataan bahwa titik ini berada di luar daerah $R$ pada Opsi E adalah salah.

Jebakan Kuadran dan Batas Wilayah

Batas wilayah yang bernilai negatif memungkinkan daerah penyelesaian meluber keluar dari kuadran pertama.

Sering timbul asumsi bahwa karena sebagian besar koefisien dan angka pada soal bernilai positif, daerah penyelesaian otomatis terkumpul rapi di kuadran pertama. Padahal secara definisi geometris, kuadran pertama menetapkan batas ketat di mana absis harus tak-negatif ($x \ge 0$) dan ordinat juga harus tak-negatif ($y \ge 0$). Jika ada satu pun celah batas yang menjangkau bilangan negatif, wilayah solusi berpotensi tumpah ke kuadran lain.

Pada sistem pertidaksamaan kita, batas sebelah kiri adalah $x \ge -1$, bukan $x \ge 0$. Artinya, pintu seleksi masih terbuka bagi titik-titik yang memiliki nilai $x$ pada rentang $-1 \le x < 0$. Selama titik dengan absis negatif tersebut dipasangkan dengan nilai $y$ yang tepat, ia tetap berhak masuk ke dalam daerah $R$.

Mari kita buktikan dengan menguji titik $(-1, 4)$ yang terletak di kuadran kedua ($x < 0$ dan $y > 0$):

1. $x + 2y \ge 4 \implies -1 + 2(4) = 7 \ge 4$ $\rightarrow$ Memenuhi

2. $2x - y \le 6 \implies 2(-1) - 4 = -6 \le 6$ $\rightarrow$ Memenuhi

3. $x \ge -1 \implies -1 \ge -1$ $\rightarrow$ Memenuhi

4. $y \le 5 \implies 4 \le 5$ $\rightarrow$ Memenuhi

Karena titik $(-1, 4)$ sah berada di dalam daerah $R$ dan berlokasi di kuadran kedua, maka pernyataan pada Opsi B yang mengklaim seluruh daerah $R$ berada di kuadran pertama terbukti salah.