Membongkar Pola Persamaan & Sifat Bilangan Asli

Trik Menghadapi Banyak Variabel

Pernahkah kamu melihat soal yang terlihat kekurangan informasi? Di soal ini, kita diberikan 4 variabel ($p, q, r, s$), tapi cuma ada 2 persamaan:

  1. $pr + qs = 34$

  2. $ps + qr = 43$

Secara matematis, mencari nilai tiap variabel satu per satu dalam kasus seperti ini adalah hal yang mustahil. Kalau kamu memaksakan diri menggunakan metode substitusi atau eliminasi biasa, kamu akan berputar-putar dalam persamaan panjang yang rumit.

Namun, di tipe soal UTBK/SNBT, bentuk persamaan yang "simetris" seperti ini menyimpan pola tersembunyi. Alih-alih mencari nilai $p, q, r,$ dan $s$ secara individu, tugas kita sebenarnya adalah mencari hubungan gabungannya.

Mari kita coba jumlahkan kedua persamaan ini secara bersusun ke bawah.

Dengan menjumlahkannya, kita mendapatkan bentuk gabungan: $pr + qs + ps + qr = 77$

Bentuk yang panjang dan seolah-olah berantakan ini sebenarnya adalah kunci utama kita. Di sinilah keterampilan memanipulasi bentuk aljabar akan diuji pada langkah berikutnya!

Mengapa pada sistem persamaan dengan banyak variabel (misalnya 4 variabel namun hanya 2 persamaan), kita terkadang lebih disarankan untuk menjumlahkannya daripada melakukan substitusi langsung?

  • A. Menjumlahkan persamaan pasti akan langsung mengeliminasi salah satu variabel.
  • B. Melakukan substitusi pada 4 variabel selalu menghasilkan bilangan pecahan tak hingga.
  • C. Menjumlahkan persamaan seringkali memunculkan pola gabungan baru yang bisa difaktorkan.
  • D. Aturan matematika melarang metode substitusi jika jumlah variabel lebih dari tiga.

Jawaban: C. Menjumlahkan persamaan seringkali memunculkan pola gabungan baru yang bisa difaktorkan.

Saat variabel lebih banyak dari persamaan, mencari nilai individu hampir mustahil. Menjumlahkan persamaan membantu kita menemukan 'bentuk gabungan' yang bisa disederhanakan melalui pemfaktoran.

Menjumlahkan dua persamaan yang memiliki banyak variabel sering kali mengungkap pola gabungan (simetri) yang bisa difaktorkan.

Seni Memfaktorkan

Dari langkah sebelumnya, kita mendapatkan persamaan panjang: $pr + qs + ps + qr = 77$

Bentuk ini terlihat masih berantakan. Mari kita susun ulang posisinya agar suku-suku yang memiliki variabel serupa saling berdekatan. Kita bisa menulisnya menjadi: $pr + ps + qr + qs = 77$

Sekarang, kita menggunakan teknik yang disebut pemfaktoran kelompok (factoring by grouping). Teknik ini dilakukan dengan memecah empat suku tadi menjadi dua kelompok kecil. Coba keluarkan variabel yang sama dari tiap pasangan suku!

Perhatikan bahwa di dalam soal, sudah didefinisikan $x = p + q$ dan $y = r + s$. Berkat seni memfaktorkan ini, bentuk rumit yang berisi 4 variabel tadi telah menyusut drastis.

Persamaan panjang kita sekarang berubah simpel menjadi: $x \cdot y = 77$.

Jika kita memiliki bentuk $ax + ay + bx + by$, langkah pertama yang paling tepat untuk memfaktorkannya adalah...

  • A. Menjumlahkan a dan b terlebih dahulu.
  • B. Mengeluarkan variabel yang sama dari dua suku pertama dan dua suku terakhir.
  • C. Membagi semua suku dengan x dan y.
  • D. Mengalikan seluruh suku dengan faktor persekutuan terbesar.

Jawaban: B. Mengeluarkan variabel yang sama dari dua suku pertama dan dua suku terakhir.

Dalam pemfaktoran by grouping (kelompok), langkah pertama adalah mengelompokkan suku-suku yang memiliki variabel yang sama, lalu mengeluarkannya. Misalnya dari ax + bx, kita keluarkan x menjadi x(a+b).

Pemfaktoran kelompok dilakukan dengan mengeluarkan variabel yang sama dari pasangan suku yang berdekatan.

Kekuatan Syarat 'Bilangan Asli'

Di matematika, sebuah kata kecil dalam soal bisa mengubah keseluruhan cara pengerjaan. Dalam soal ini, petunjuk utamanya adalah kalimat: "$p, q, r,$ dan $s$ adalah bilangan asli."

Apa artinya itu? Himpunan bilangan asli (atau natural numbers / counting numbers) adalah bilangan bulat yang dimulai dari 1, 2, 3, dan seterusnya. Tidak ada angka nol, tidak ada pecahan, dan tidak ada bilangan negatif.

Kita tahu bahwa $x = p + q$. Kalau nilai $p$ terkecil adalah 1, dan nilai $q$ terkecil juga 1, apa yang terjadi pada $x$?

ilustrasi

Karena baik $x$ maupun $y$ dibentuk dari penjumlahan dua bilangan asli ($x = p+q$ dan $y = r+s$), maka otomatis kita memiliki batasan yang pasti:

Batasan nilai minimum inilah yang akan menjadi senjata penyaring untuk membongkar teka-teki persamaan kita di langkah berikutnya.

Jika diketahui $a$ dan $b$ adalah bilangan asli, berapakah nilai minimum yang mungkin dari penjumlahan $a + b$?

  • A. 0
  • B. 1
  • C. 2
  • D. Tidak dapat ditentukan

Jawaban: C. 2

Himpunan bilangan asli adalah {1, 2, 3, ...}. Karena nilai terkecil a adalah 1 dan nilai terkecil b adalah 1, maka nilai minimum a + b = 1 + 1 = 2.

Bilangan asli dimulai dari angka 1, sehingga penjumlahan dua bilangan asli paling kecil pasti bernilai 2.