Barisan Aritmatika dalam Persamaan
Memulai dari Angka Nyata
Waktu kamu baca di soal "$p, q, m$ membentuk barisan aritmatika", apa yang pertama kali terbayang? Kalau cuma mikirin huruf-huruf itu, wajar kalau rasanya buntu dan susah dimodelkan.
Biar gampang, mari kita lupakan dulu $p, q, m$. Bayangkan sebuah barisan angka yang nyata dan sederhana: $1, 3, 5, 7, ...$
Apa yang bikin deretan angka ini disebut "barisan aritmatika"? Jawabannya ada pada selisih atau beda antar angkanya yang selalu tetap. Di kasus ini, bedanya adalah $+2$.
Coba perhatikan:
Suku pertama = $1$
Suku kedua ($3$) = $1$ + $2$
Suku ketiga ($5$) = $1$ + $2(2)$
Suku keempat ($7$) = $1$ + $2(3)$
Pola inilah yang menjadi senjata utama kita. Alih-alih melihat $3, 5, 7$ sebagai angka yang berdiri sendiri, kita melihat mereka sebagai "suku pertama ditambah kelipatan bedanya".
Sekarang, pemahaman merakit ulang ini akan kita jadikan alat untuk membongkar soal.
Jika sebuah barisan aritmatika dimulai dengan angka 10 dan bedanya adalah 5 (10, 15, 20, 25, 30, ...), bagaimana cara menuliskan angka 30 dengan menggunakan pola suku pertama dan bedanya?
- A. 10 + 4(4)
- B. 10 + 4(5)
- C. 10 + 5(4)
- D. 10 + 5(5)
Jawaban: B. 10 + 4(5)
Suku pertama adalah 10. Untuk mencapai suku ke-5, kita melangkah 4 kali dari suku pertama. Jadi, 10 + 4(5) = 10 + 20 = 30.
Suku ke-n dari barisan aritmatika bisa dinyatakan sebagai suku pertama ditambah kelipatan bedanya.
Mengganti Angka Jadi Simbol
Di halaman sebelumnya kita lihat kalau angka 3 bisa diubah jadi $1 + 2$, dan angka 5 bisa diubah jadi $1 + 2(2)$. Sekarang, kita terapkan logika yang persis sama ke dalam simbol yang ada di soal.
Soal bilang: $p, q, m, r, s, n$ adalah barisan aritmatika. Karena ini adalah satu kesatuan barisan, mari kita fokus dulu ke tiga huruf pertama yaitu $p, q, m$.
Anggap beda (selisih) dari barisan ini adalah $b$. Sama seperti contoh angka tadi, kita jadikan suku pertamanya ($p$) sebagai patokan atau jangkar utama.
Maka, kita bisa membedah suku-suku berikutnya:
Suku pertama = $p$
Suku kedua ($q$) = suku pertama ditambah satu beda $\rightarrow$ $q = p + b$
Suku ketiga ($m$) = suku pertama ditambah dua beda $\rightarrow$ $m = p + 2b$
Kita berhasil "menerjemahkan" variabel yang acak menjadi pola yang terstruktur!
Masih dari soal yang sama, diketahui juga bahwa $r, s, n$ adalah barisan aritmatika. Jika kita anggap $r$ adalah suku pertama dan $b$ adalah bedanya, tentukan apakah pernyataan berikut benar atau salah!
- Variabel $s$ bisa ditulis ulang menjadi $r + b$. — Benar
- Variabel $n$ bisa ditulis ulang menjadi $s + 2b$. — Salah
Sama seperti p, q, m, barisan r, s, n jika memiliki suku pertama r dan beda b, maka s = r + b dan n = r + 2b (bukan s + b).
Dalam barisan aritmatika $r, s, n$, suku-sukunya dapat dinyatakan sebagai $r$, $r+b$, dan $r+2b$.
Memasukkan Kembali ke Persamaan
Sekarang kita sudah punya "wujud baru" dari $q$ dan $m$ yaitu $q = p + b$ dan $m = p + 2b$.
Kembali ke persamaan awal di soal yang menjebak: $px + qy = m$
Persamaan ini terlihat sulit diselesaikan karena ada tiga variabel barisan ($p, q, m$) yang semuanya tidak kita ketahui nilainya. Tapi tunggu dulu, kita kan sudah menstandarkan $q$ dan $m$ ke dalam $p$ dan $b$.
Mari kita substitusi (masukkan) wujud barunya: $px + (p+b)y = p + 2b$
Langkah selanjutnya adalah "membongkar" tanda kurung. Kita kalikan masuk huruf $y$ ke dalam $(p+b)$: $px + py + by = p + 2b$
Sampai di sini, persamaannya sudah terbuka lebar dan siap untuk kita rapikan di tahap selanjutnya.