Mengurai Substitusi Komposisi & Aljabar Akar

Bukan Dikalikan, Tapi Dimasukkan

Saat melihat notasi $(h \circ c)(x)$, kesalahan paling umum adalah menganggapnya sebagai perkalian antara fungsi $h(x)$ dan $c(x)$. Kenyataannya, komposisi fungsi bukanlah perkalian.

Komposisi fungsi berarti kita melakukan evaluasi fungsi di dalam fungsi. Fungsi pertama, yaitu $h$, bertindak sebagai 'wadah' atau cetakan. Kita akan mengosongkan setiap variabel $x$ di dalam fungsi $h$, lalu memasukkan secara utuh fungsi kedua, yaitu $c(x)$, ke dalam kekosongan tersebut.

Jadi, $(h \circ c)(x)$ berarti $h(c(x))$.

Jika kamu punya $h(x) = x^2 + 1$ dan $c(x) = \sqrt{x}$, maka:

Terlihat jelas bedanya, kan?

Berdasarkan konsep komposisi, penulisan (f \circ g)(x) secara aljabar sama maknanya dengan bentuk...

  • f(x) \cdot g(x)
  • f(g(x))
  • g(f(x))
  • f(x) + g(x)

Jawaban: f(g(x))

Simbol lingkaran kecil (∘) dibaca 'bundaran' atau 'komposisi', yang artinya fungsi di kanan disubstitusikan menjadi input untuk fungsi di kiri.

Komposisi fungsi f ∘ g berarti memasukkan fungsi g ke dalam fungsi f, bukan mengalikannya.

Aturan Emas Mengkuadratkan Akar

Sebelum kita mengeksekusi soal tadi, mari bereskan satu miskonsepsi aljabar yang sering bikin salah hitung: memangkatkan akar.

Jika kamu melihat bentuk $(\sqrt{x-4})^2$, mungkin instingmu mengatakan untuk memangkatkan isi di dalamnya satu per satu menjadi $x^2 - 16$ atau $x^2 + 16$. Ini salah besar.

Secara definisi, akar kuadrat dari suatu nilai $A$ adalah angka yang jika dikuadratkan menghasilkan $A$. Oleh karena itu, operasi akar dan pangkat dua adalah operasi kebalikan yang saling meniadakan.

Jadi, untuk $(\sqrt{x-4})^2$, kamu cukup "melepas" akarnya saja, sehingga hasilnya murni $(x-4)$.

Bagaimana dengan pangkat empat seperti $(\sqrt{x-4})^4$? Pangkat 4 adalah pangkat 2 yang dikuadratkan lagi. Secara struktur aljabar: $(\sqrt{x-4})^4 = \Big( (\sqrt{x-4})^2 \Big)^2 = (x-4)^2$

Sekarang kamu punya alat hitung yang solid untuk menyederhanakan pecahan rumit.

Berapakah hasil penyederhanaan dari (\sqrt{y-5})^2 ?

  • y^2 + 25
  • y^2 - 25
  • y - 5
  • y^2 - 5

Jawaban: y - 5

Operasi kuadrat meniadakan operasi akar. Nilai di dalam akar (y-5) keluar secara utuh tanpa ada perubahan pangkat pada suku y atau 5.

Mengkuadratkan sebuah akar akan menghasilkan nilai di dalam akar tersebut secara utuh, tanpa memangkatkan suku-suku di dalamnya.

Step 1: Substitusi Runtut

Sekarang kita terapkan kedua konsep tersebut ke fungsi dari soal: $h(x) = \dfrac{x^2+4}{x^4+x^2}$ dan $c(x) = \sqrt{x-4}$.

Kita akan mencari $h(c(x))$. Agar tidak ceroboh saat memasukkan fungsi yang memiliki tanda akar ke dalam fungsi yang memiliki pangkat tinggi, gunakan trik kurung kosong.

Langkah-langkahnya harus terstruktur:

  1. Tulis ulang fungsi target ($h(x)$).

  2. Ubah setiap variabel $x$ menjadi kurung kosong $()$. Ini memastikan tidak ada pangkat yang terlewat.

  3. Masukkan fungsi $c(x)$ ke dalam setiap kurung tersebut.

Bentuk mentah inilah yang nantinya akan kita proses aljabarnya. Dengan mengisolasi proses substitusi dari proses hitung (jangan dihitung di kepala bersamaan dengan substitusi), peluang salah tanda atau salah pangkat akan sangat kecil.