Trik KPK Pembasmi Pecahan Bertingkat

Membongkar Pangkat Negatif

Pangkat negatif pada sebuah variabel menyatakan kebalikan pecahan dari variabel tersebut, bukan menjadikannya bilangan negatif.

Secara aljabar, definisi eksponen negatif dituliskan sebagai $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Tanda minus pada pangkat bekerja seperti instruksi posisi: "pindahkan variabel ini ke lantai seberang (penyebut) dan buat pangkatnya bernilai positif".

Sebagai contoh, bentuk $3a^{-2}$ artinya adalah $3 \times \frac{1}{a^2}$, yang menghasilkan $\frac{3}{a^2}$. Angka $3$ tetap bertahan di pembilang (lantai atas) karena pangkat negatif hanya menempel langsung pada variabel $a$, bukan pada angka $3$. Hal ini berbeda jika bentuknya memiliki tanda kurung seperti $(3a)^{-2}$, di mana seluruh isinya akan pindah ke bawah menjadi $\frac{1}{(3a)^2} = \frac{1}{9a^2}$.

Dengan demikian, bentuk pembilang awal berubah menjadi $\frac{3}{a^2} + \frac{1}{b}$ dan penyebut awal berubah menjadi $\frac{1}{a} - \frac{4}{b^2}$.

Jebakan Pecahan Bertingkat

Cara konvensional menyamakan penyebut atas dan bawah lalu membaginya sering memicu kesalahan saat menyederhanakan rasio variabel.

Setelah semua pangkat negatif diterjemahkan, wujud soal menjadi:

$$\frac{\frac{3}{a^2} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{4}{b^2}}$$

Ekspresi ini disebut sebagai pecahan bertingkat, yaitu pecahan yang pembilang maupun penyebutnya masih memuat pecahan lain di dalamnya.

Pada cara konvensional, langkah pertama adalah menyamakan penyebut di lantai atas menjadi $\frac{3b + a^2}{a^2b}$ dan di lantai bawah menjadi $\frac{b^2 - 4a}{ab^2}$. Selanjutnya, pembagian dilakukan dengan mengalikan kebalikan penyebut:

$$\frac{3b + a^2}{a^2b} \times \frac{ab^2}{b^2 - 4a}$$

Padahal, jika dicermati dengan seksama:

$$\frac{ab^2}{a^2b} = \frac{a \cdot b \cdot b}{a \cdot a \cdot b} = \frac{b}{a}$$

Karena pembagian bertingkat dan perkalian kebalikan rawan menimbulkan kekeliruan rasio, kita memerlukan pendekatan yang lebih aman dan langsung menghilangkan semua pecahan kecil sejak awal.

Jurus Cepat: Kalikan KPK

Pecahan bertingkat dapat dihilangkan sekaligus dengan mengalikan pembilang utama dan penyebut utama menggunakan KPK dari penyebut-penyebut kecil.

Daripada menyamakan penyebut satu per satu di lantai atas dan bawah, kita bisa mencari KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari seluruh penyebut kecil yang ada. Dalam soal ini, penyebut-penyebut kecil tersebut adalah $a^2$, $b$, $a$, dan $b^2$.

Aturan menentukan KPK untuk bentuk aljabar berpangkat sangat sederhana: pilihlah setiap variabel unik dengan pangkat tertinggi yang muncul.

• Untuk variabel $a$, pangkat yang muncul adalah $a^2$ dan $a^1$. Ambil pangkat tertinggi: $a^2$.

• Untuk variabel $b$, pangkat yang muncul adalah $b^1$ dan $b^2$. Ambil pangkat tertinggi: $b^2$.

Maka, KPK dari semua penyebut kecil adalah $a^2b^2$. Nilai $a^2b^2$ ini bertindak sebagai obat pembasmi pecahan. Jika pembilang utama dan penyebut utama sama-sama dikalikan dengan $a^2b^2$, seluruh pecahan kecil akan lenyap serentak.