Deret Sisipan: Dari Aljabar ke Simetri

Anatomi Barisan & Celahnya

Sebelum kita pusing mikirin rumusnya, mari kita bayangkan secara fisik apa yang sedang terjadi di soal ini.

Bayangkan ada 9 tiang berjejer rapi. Soal bilang kita harus menyisipkan angka pada "setiap $2$ suku yang berurutan". Ini sama saja dengan bertanya: ada berapa celah (ruang kosong) di antara 9 tiang tersebut?

Kunci (atau krux) pertama yang wajib kamu pahami: banyaknya celah selalu satu lebih sedikit dari banyaknya benda. Kalau jarimu ada 5, sela jarimu ada 4. Kalau barisanmu ada 9 angka, maka tepat ada $8$ celah di antaranya.

Karena kita menyisipkan satu angka baru di setiap celah, berarti ada $8$ angka baru yang masuk ke dalam barisan.

Akibatnya, deret yang baru sekarang totalnya memiliki: $9 \text{ (suku asli)} + 8 \text{ (suku sisipan)} = \mathbf{17 \text{ suku}}$.

Efek Menyisipkan 'Rata-rata'

Sekarang kita sudah tahu berapa banyak angka yang masuk. Pertanyaan selanjutnya: apa efek dari nilai yang dimasukkan itu?

Soal dengan spesifik menyebut kita menyisipkan rata-rata dari 2 suku yang berurutan. Apa makna matematisnya?

Rata-rata dari dua bilangan (misal $x$ dan $y$) adalah $\frac{x+y}{2}$. Di garis bilangan, nilai ini persis membelah jarak antara $x$ dan $y$ menjadi dua bagian yang sama panjang.

Misalkan jarak (beda) antar suku aslinya adalah $b$. Saat kamu menyisipkan rata-ratanya, kamu meletakkan titik baru tepat di tengah-tengah. Jarak dari titik asli pertama ke titik baru adalah $\frac{b}{2}$, dan jarak dari titik baru ke titik asli kedua juga $\frac{b}{2}$.

Artinya, karena langkah (beda)-nya tetap konstan (yaitu $\frac{b}{2}$ secara berulang), maka barisan tersebut TETAP menjadi deret aritmatika, hanya saja kini jumlah sukunya lebih rapat.

Rute Aljabar Formal

Mari kita lihat sejenak bagaimana kita secara tradisional menyelesaikan ini menggunakan "Rute Aljabar". Pendekatan ini murni membongkar rumus.

Dari deret lama, kita tahu jumlah 9 sukunya adalah $81$. $S_9 = 81$ $\frac{9}{2} (2a + 8b) = 81$ $9(a + 4b) = 81$ $a + 4b = 9$

Tahan sebentar! Nilai $(a + 4b) = 9$ ini adalah temuan yang sangat penting (kita akan melihat alasannya nanti).

Lalu, kita akan menghitung jumlah 8 suku sisipannya secara terpisah. Suku sisipan pertama (antara $U_1$ dan $U_2$) bernilai $\frac{a + (a+b)}{2} = a + \frac{b}{2}$. Suku sisipan terakhir (antara $U_8$ dan $U_9$) bernilai $a + \frac{15b}{2}$.

Jika kita menjumlahkan semua 8 suku sisipan menggunakan deret aritmatika lagi, hasil penyederhanaannya adalah: Total Sisipan $= 8(a + 4b)$

Karena kita tahu $(a + 4b) = 9$, maka: Total Sisipan $= 8 \times 9 = 72$.

Jumlah barisan yang baru tentu adalah gabungan dari jumlah deret asli dan jumlah suku-suku yang disisipkan: $\text{Total Deret Baru} = 81 + 72 = \mathbf{153}$.