Aturan Perkalian: Meretas Kode PIN

Membongkar Ruang Sampel PIN

Menghitung total kemungkinan susunan angka tanpa pengulangan paling mudah dibayangkan dengan mengisi kotak-kotak kosong satu per satu.

Bayangkan kita sedang memutar gembok kode koper berslot $3$. Di tangan kita, ada $5$ anak kunci bertuliskan angka $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Setiap slot angka adalah kotak yang harus diisi bergiliran, dan sisa angka yang belum terpasang adalah anak kunci yang masih kita pegang.

Ketika kita mengisi Slot 1, seluruh $5$ anak kunci masih utuh di tangan kita, sehingga ada $5$ pilihan angka. Begitu satu angka terpasang di Slot 1, angka tersebut tidak boleh digunakan lagi karena syarat soal melarang pengulangan. Akibatnya, saat beralih ke Slot 2, anak kunci di tangan kita tersisa $4$ buah. Setelah Slot 2 terisi, tersisa $3$ anak kunci untuk mengisi Slot 3.

Berdasarkan Aturan Perkalian, kita tinggal mengalikan banyaknya pilihan di tiap tahap:

$$n(S) = 5 \times 4 \times 3 = 60$$

Total seluruh kemungkinan ini disebut sebagai Ruang Sampel ($n(S)$), yaitu total seluruh kemungkinan kejadian yang bisa dibentuk dari himpunan tersebut. Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi A bernilai benar. Secara formal, proses ini setara dengan rumus permutasi $P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = 60$ karena urutan angka pada PIN sangat diperhatikan (PIN $123$ tentu berbeda dari $321$). Namun, membayangkannya lewat metode pengisian kotak membuat logikanya jauh lebih nyata dan intuitif.

Dahulukan Syarat Paling Bawel

Jika ada syarat khusus pada susunan, penuhi slot yang dikhususkan itu terlebih dahulu sebelum menempatkan angka lain di sisa slot.

Ketika menyusun angka dengan batasan tertentu (misalnya bilangan genap atau bilangan di atas nilai tertentu), kesalahan paling umum adalah tetap mengisi kotak dari kiri ke kanan. Padahal, slot yang memegang aturan pembatas adalah yang paling rentan kehabisan angka kunci. Karena itu, kuncinya sederhana: selesaikan kotak dengan syarat paling ketat terlebih dahulu.

Mari kita gunakan prinsip prioritas ini untuk menguji tiga pernyataan peluang pada soal:

1. Menganalisis Bilangan Genap (Opsi B) Bilangan bernilai genap ditentukan oleh digit paling belakang (Satuan). Dari himpunan $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, angka genap yang tersedia hanya $2$ dan $4$ ($2$ pilihan anak kunci). Setelah satu angka genap terpasang di belakang, tersisa $4$ angka bebas untuk mengisi slot Ratusan ($4$ pilihan) dan Puluhan ($3$ pilihan).

   $$n(\text{Genap}) = 4 \times 3 \times 2 = 24$$

   Peluang kejadian ini adalah:

   $$P(\text{Genap}) = \frac{n(\text{Genap})}{n(S)} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$$

   Maka, Opsi B bernilai benar.

2. Menganalisis Bilangan di Atas $400$ (Opsi C) Agar nilai bilangan melebihi $400$, syarat berada di slot paling depan (Ratusan), yang wajib diisi angka $4$ atau $5$ ($2$ pilihan). Dua slot setelahnya diisi bebas oleh $4$ angka yang tersisa ($4 \times 3 = 12$ pilihan).

   $$n(>400) = 2 \times 4 \times 3 = 24 \implies P(>400) = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}$$

   Pernyataan pada Opsi C bernilai salah karena menyebutkan peluangnya adalah $\frac{1}{3}$. Angka $\frac{1}{3}$ sering muncul dari tebakan proporsi acak atau kesalahan menghitung susunan menjadi $20$ cara.

3. Menganalisis Digit Terakhir Ganjil (Opsi E) Agar digit terakhir bernilai ganjil, slot satuan harus diisi oleh angka $\{1, 3, 5\}$ ($3$ pilihan). Sisa dua slot depan diisi $4 \times 3 = 12$ cara.

   $$n(\text{Ganjil}) = 4 \times 3 \times 3 = 36 \implies P(\text{Ganjil}) = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$$

   Pernyataan pada Opsi E bernilai salah karena menyebutkan peluangnya adalah $\frac{1}{2}$. Banyak siswa tergoda memilih $\frac{1}{2}$ karena mengira peluang ganjil dan genap selalu berimbang $50:50$. Pada kenyataannya, komposisi himpunan awal tidak seimbang: ada $3$ angka ganjil berbanding $2$ angka genap.

Komplemen: Mencari yang Tidak Diminta

Kasus rumit seperti 'memuat angka tertentu' lebih cepat dihitung dengan mencari kebalikannya (Komplemen) dan menguranginya dari total kemungkinan.

Jika pada halaman sebelumnya syarat terkunci rapi pada satu posisi (misalnya angka genap di satuan atau angka besar di ratusan), bagaimana jika syaratnya berpindah-pindah posisi? Pada Opsi D, kita diminta mencari peluang PIN yang memuat angka $3$. Jika dihitung langsung, angka $3$ bisa saja terletak di slot pertama, slot kedua, atau slot ketiga. Menghitung kasus per kasus seperti itu rawan memakan waktu lama dan rentan terlewat.

Di sinilah konsep Komplemen menjadi senjata ampuh. Alih-alih menghitung PIN yang ada angka $3$-nya, kita hitung kebalikannya: berapa banyak PIN yang sama sekali tidak memuat angka $3$?

1. Sembunyikan angka $3$ dari pilihan. Kita singkirkan angka $3$, sehingga anak kunci yang tersisa hanya $\{1, 2, 4, 5\}$ ($4$ angka).

2. Susun $3$ digit dari sisa angka tersebut. Dengan aturan perkalian biasa tanpa pengulangan:

   $$n(\text{Tanpa } 3) = 4 \times 3 \times 2 = 24$$

3. Kurangkan dari total ruang sampel. Karena total kemungkinan PIN adalah $60$, maka sisa susunan yang ada pasti memuat angka $3$:

   $$n(\text{Memuat } 3) = n(S) - n(\text{Tanpa } 3) = 60 - 24 = 36$$

Dengan demikian, peluang PIN memuat angka $3$ adalah:

$$P(\text{Memuat } 3) = \frac{36}{60} = \frac{3}{5}$$

Hasil ini membuktikan bahwa Opsi D bernilai benar. Melalui komplemen, masalah percabangan posisi yang rumit langsung tuntas dalam tiga langkah bersih.