Membongkar Pecahan Berlanjut

Dekomposisi Menjadi Pecahan Campuran

Setiap pecahan tidak murni dapat dipecah menjadi jumlahan sebuah bilangan bulat dan sebuah pecahan murni.

Secara formal, berdasarkan algoritma pembagian, untuk setiap dua bilangan bulat positif $a$ dan $b$ dengan $a > b$, selalu terdapat bilangan bulat unik $q$ (hasil bagi) dan $r$ (sisa pembagian) yang memenuhi persamaan:

$$a = q \cdot b + r \quad \text{dengan} \quad 0 \le r < b$$

Jika kedua ruas kita bagi dengan $b$, kita memperoleh bentuk pecahan campuran:

$$\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b}$$

Mari kita terapkan teorema ini pada pecahan $\frac{60}{7}$ dari soal. Dengan melakukan pembagian bersusun, kita membagi $60$ dengan $7$: $60 = 8 \cdot 7 + 4$. Di sini, hasil bagi adalah $8$ dan sisa pembagiannya adalah $4$.

Diagram pembagian bersusun 60 dibagi 7 yang memperlihatkan hasil bagi 8 dan sisa 4.

Bentuk formal dekomposisinya adalah:

$$\frac{60}{7} = 8 + \frac{4}{7}$$

Dengan membandingkan bentuk ini ke persamaan pada soal, yaitu $\frac{60}{7} = d + \frac{1}{\dots}$, kita langsung mengidentifikasi nilai bilangan bulat terluar, yaitu $d = 8$.

Jika pecahan tidak murni $\frac{45}{8}$ didekomposisi ke dalam bentuk $q + \frac{r}{8}$ dengan $q, r$ bilangan bulat dan $0 \le r < 8$, berapakah nilai $q$ dan $r$?

  • $q = 5$ dan $r = 5$
  • $q = 4$ dan $r = 13$
  • $q = 6$ dan $r = -3$
  • $q = 5$ dan $r = 3$

Jawaban: $q = 5$ dan $r = 5$

Berdasarkan algoritma pembagian, $45 = 5 \times 8 + 5$. Karena sisa $r = 5$ memenuhi $0 \le r < 8$, maka $\frac{45}{8} = 5 + \frac{5}{8}$, sehingga $q = 5$ dan $r = 5$. Opsi B salah karena sisa pembagian $13 \ge 8$ (belum selesai membagi). Opsi C salah karena sisa pembagian tidak boleh negatif. Opsi D salah akibat kekeliruan aritmetika ($5 \times 8 + 3 = 43 \ne 45$).

Kemampuan mendekomposisi pecahan tidak murni menjadi bilangan bulat dan pecahan murni.

Manipulasi Aljabar: Kebalikan Pecahan

Pecahan $\frac{x}{y}$ selalu setara dengan $1$ dibagi kebalikannya, yaitu $\frac{1}{\frac{y}{x}}$.

Untuk memahami mengapa manipulasi ini valid secara matematis, perhatikan pembuktian aljabar formal menggunakan sifat identitas pembagian berikut:

$$\frac{x}{y} = \frac{\frac{x}{x}}{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\frac{y}{x}} \quad (\text{untuk } x \ne 0 \text{ dan } y \ne 0)$$

Ketika pembilang dan penyebut sama-sama dibagi dengan nilai $x$, nilai pecahan tidak berubah sama sekali, namun bentuk visualnya berubah drastis: pembilang 'dipaksa' menjadi $1$, sementara penyebutnya berubah menjadi kebalikan pecahan dari bentuk asalnya.

Inilah kunci utama dalam mengonstruksi pecahan berlanjut: kita memindahkan pecahan murni yang tersisa ke posisi penyebut utama dengan cara membalikkannya.

Mari kita terapkan pada sisa pecahan dari lapisan pertama kita tadi, yaitu $\frac{4}{7}$:

$$\frac{4}{7} = \frac{1}{\frac{7}{4}}$$

Sehingga ekspresi pecahan kita sejauh ini menjadi:

$$\frac{60}{7} = 8 + \frac{4}{7} = 8 + \frac{1}{\frac{7}{4}}$$

Tentukan kebenaran dari masing-masing pernyataan aljabar mengenai bentuk pecahan ekuivalen berikut:

  • Pecahan $\frac{5}{12}$ ekuivalen secara aljabar dengan bentuk $\frac{1}{\frac{12}{5}}$. — Benar
  • Untuk sembarang $x, y \ne 0$, bentuk pecahan $\frac{x}{y}$ selalu ekuivalen dengan $\frac{1}{\frac{x}{y}}$. — Salah

Pernyataan 1 Benar: Membagi pembilang dan penyebut dengan 5 menghasilkan $\frac{5/5}{12/5} = \frac{1}{12/5}$. Pernyataan 2 Salah: Pecahan $\frac{x}{y}$ setara dengan $\frac{1}{y/x}$ (penyebut berupa kebalikan pecahan, bukan pecahan awal). Bentuk $\frac{1}{x/y}$ justru bernilai $\frac{y}{x}$, yang merupakan kebalikannya.

Pemahaman identitas aljabar mengubah pecahan menjadi bentuk 1 per kebalikan.

Iterasi: Menyusun Pecahan Berlanjut

Proses dekomposisi dan pembalikan dilakukan berulang kali hingga sisa pecahan menjadi pecahan dengan pembilang $1$.

Sekarang kita mengulangi algoritma yang sama persis pada penyebut baru kita, $\frac{7}{4}$:

  1. Dekomposisi Lapisan 2: $\frac{7}{4} = 1 + \frac{3}{4}$. Dari sini, kita memperoleh bilangan bulat kedua, yaitu $c = 1$.

  2. Pembalikan Sisa: Sisa pecahan murni $\frac{3}{4}$ dibalik menjadi $\frac{1}{\frac{4}{3}}$.

  3. Dekomposisi Lapisan 3: Penyebut $\frac{4}{3}$ didekomposisi lagi menjadi $1 + \frac{1}{3}$. Ini memberikan bilangan bulat ketiga, yaitu $b = 1$.

Diagram blok bertingkat yang memperlihatkan ekspansi bertahap pecahan 60/7 menjadi pecahan berlanjut hingga berhenti di 1/3.

Karena sisa pecahan terakhir sudah memiliki pembilang $1$, yaitu $\frac{1}{3}$, proses iterasi berhenti secara alami. Kita telah sampai pada boneka Matryoshka terkecil yang tidak bisa dibuka lagi.

Mari kita rangkai seluruh lapisan dekomposisi dari awal hingga akhir secara bertahap:

$$\frac{60}{7} = 8 + \frac{4}{7} = 8 + \frac{1}{1 + \frac{3}{4}} = 8 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}$$