Sisa Pangkat Raksasa: Eksekusi Pola
Mulai dari Pangkat Kecil
Bayangin kamu disuruh menghitung sisa dari $3^{2026}$ dibagi $5$. Jelas, menghitung $3^{2026}$ secara manual itu mustahil karena angkanya sangat raksasa—kalkulator paling canggih pun bakal kewalahan!
Tapi matematika itu soal mencari pola, bukan cuma sekadar berhitung kuli. Alih-alih langsung melawan "monster" pangkat $2026$, gimana kalau kita mulai dari pangkat-pangkat yang kecil dulu? Kita cek sisa pembagiannya satu per satu.
Mari kita hitung sisa pembagian pangkat-pangkat kecil dari $3$ oleh $5$:
$3^1 = 3$. Kalau dibagi $5$, sisanya $3$.
$3^2 = 9$. Kalau dibagi $5$, sisanya $4$ ($9 = 5 \times 1 + 4$).
$3^3 = 27$. Kalau dibagi $5$, sisanya $2$ ($27 = 5 \times 5 + 2$).
$3^4 = 81$. Kalau dibagi $5$, sisanya $1$ ($81 = 5 \times 16 + 1$).
Sekarang, coba perhatikan apa yang terjadi saat kita lanjut ke $3^5$:
$3^5 = 243$. Kalau dibagi $5$, sisanya $3$ ($243 = 5 \times 48 + 3$).
Sadar nggak? Di pangkat ke-$5$, sisa pembagiannya kembali lagi jadi $3$. Angka ini persis sama dengan sisa pembagian di $3^1$. Inilah tanda-tanda awal bahwa kita sedang berhadapan dengan sebuah pola yang akan terus berulang!
Berapakah sisa pembagian $3^3$ oleh $5$?
- A. 3
- B. 4
- C. 2
- D. 1
Jawaban: C. 2
$3^3 = 27$. Jika 27 dibagi 5, hasil baginya 5 dengan sisa 2 ($27 = 5 \times 5 + 2$).
Mencari pola awal dengan menghitung sisa pangkat kecil secara berurutan.
Mengunci Panjang Siklus
Di halaman sebelumnya, kita lihat bahwa setelah $3^4$ (yang sisanya $1$), sisa dari $3^5$ kembali lagi menjadi $3$. Kalau kita lanjutkan, $3^6$ akan bersisa $4$, $3^7$ bersisa $2$, dan seterusnya.
Barisan sisa pembagian yang kita temukan adalah: $3, 4, 2, 1$, lalu berulang lagi $3, 4, 2, 1$.
Ini berarti pola sisa pembagian tersebut mereset ke awal setiap kali melewati 4 langkah. Kita bisa menyimpulkan bahwa panjang satu putaran penuh (siklus) adalah 4 langkah.
Dengan mengetahui bahwa panjang siklusnya adalah 4, kita nggak perlu lagi menghitung pangkat satu per satu. Kita bisa membungkusnya dalam satu kelompok! Pangkat ke-$1, 5, 9, \dots$ pasti bersisa $3$. Pangkat ke-$2, 6, 10, \dots$ pasti bersisa $4$, dan begitu seterusnya.
Berapakah panjang siklus (jumlah langkah sebelum pola berulang) dari sisa pembagian $3^n$ oleh $5$?
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 6
Jawaban: B. 4
Pola sisa pembagiannya adalah 3, 4, 2, 1 dan kemudian kembali lagi ke 3. Ada 4 angka unik sebelum pola mereset, jadi panjang siklusnya adalah 4.
Siklus sisa pembagian mereset persis setelah mencapai sisa 1.
Melompati Putaran dengan Pangkat Raksasa
Nah, sekarang kita sudah punya 'peta' berupa siklus berulang setiap 4 langkah. Pangkat yang mau kita cari sisanya adalah $2026$. Bayangkan kamu sedang berlari mengelilingi lapangan yang panjangnya cuma 4 langkah, tapi kamu harus melangkah sebanyak $2026$ kali!
Daripada kita menghitung manual satu-satu (yang bakal bikin capek), kita bisa "memotong kompas" alias melompati putaran-putaran tersebut.
Caranya gampang: kita cari tahu ada berapa putaran penuh dalam $2026$ langkah, dan berapa langkah sisanya. Kita bagi pangkatnya dengan panjang siklus:
Artinya, kalau kita jalankan siklus $3, 4, 2, 1$ sebanyak $2026$ kali, siklus itu akan berputar penuh sebanyak $506$ kali. Setelah $506$ putaran penuh itu selesai, kita masih punya "sisa" $2$ langkah.
Bagaimana cara kita mengetahui posisi pangkat $2026$ di dalam siklus yang panjangnya 4?
- A. Dibagi 4, lalu kita ambil sisa pembagiannya.
- B. Dibagi 5, lalu kita ambil sisa pembagiannya.
- C. Dikalikan 4, lalu dikurangi 2026.
- D. Diakar pangkat dua untuk mengecilkan angkanya.
Jawaban: A. Dibagi 4, lalu kita ambil sisa pembagiannya.
Kita harus membagi pangkat raksasa (2026) dengan panjang siklus (4) dan melihat sisa pembagiannya. Sisa inilah yang menentukan posisi akhirnya di dalam siklus.
Mencari sisa dari pembagian pangkat raksasa dengan panjang siklus untuk menentukan posisi.