Program Linear: Misteri Titik Pojok & Garis Selidik

Kendala Bertumpuk: Siapa Bosnya?

Di soal tadi, saat kamu ngecek pernyataan (2) soal "kue bolu tidak dibuat" ($y=0$), mungkin kamu bertanya-tanya: kenapa batas maksimum kue lapis ($x$) diambil yang lebih kecil?

Bayangkan kamu lagi mau bikin kue lapis doang ($y=0$). Kamu dihadapkan pada dua ketersediaan bahan baku:

• Dari sisa tepung, kamu bisa bikin sampai 15 loyang ($4x \le 60$).

• Dari sisa gula, kamu cuma bisa bikin 13,33 loyang ($3x \le 40$).

Kira-kira apa yang terjadi kalau kamu maksa bikin 15 loyang kue lapis? Tepungnya sih cukup, tapi di loyang ke-14 gulanya udah habis! Akhirnya, rencana bikin 15 loyang itu mustahil dieksekusi.

Dalam Program Linear, sebuah rencana produksi harus memenuhi SEMUA syarat secara bersamaan. Itu sebabnya, syarat yang paling mengekang (paling kecil) adalah bos aslinya yang menentukan batas maksimal!

Membangun Penjara Visual

Karena kamu suka pendekatan visual, mari kita petakan kendala-kendala tadi jadi sebuah "penjara" di grafik Kartesius.

Kita punya dua garis batas utama:

1. Garis Tepung: $4x + 3y = 60$

2. Garis Gula: $3x + 2y = 40$

Karena persediaan sifatnya "tidak lebih dari" ($\le$), arsiran yang benar akan mengarah ke bawah, mendekati titik $(0,0)$. Jangan lupa juga syarat masuk akal: jumlah kue nggak mungkin minus ($x \ge 0$ dan $y \ge 0$), jadi kita cuma main di Kuadran I.

Cobalah nyalakan semua batas di grafik interaktif di atas!

Daerah yang paling terang (karena tertimpa semua arsiran) adalah satu-satunya area di mana persediaan tepung, persediaan gula, dan syarat non-negatif terpenuhi secara bersamaan. Inilah yang kita sebut Daerah Penyelesaian (Feasible Region). Semua titik di luar poligon ini berarti ada minimal satu bahan yang kurang.

Radar Keuntungan: Garis Selidik

Sekarang, gimana cara kita tahu titik mana di dalam "penjara" tadi yang ngasih untung paling gede?

Fungsi keuntungan kita adalah $25.000x + 20.000y = K$ (dengan $K$ adalah total keuntungan). Kalau kita anggap ini sebagai persamaan garis, kita bisa mengubah nilai $K$ sesuka hati.

Perhatikan pas kamu geser slider keuntungan ($K$) ke atas:

1. Garisnya cuma bergeser sejajar. Kemiringannya nggak berubah karena harga kue lapis dan bolu tetap segitu.

2. Semua titik (kombinasi kue) yang berada di garis yang sama bakal ngasih untung yang persis sama besarnya.

Garis yang bergerak-gerak ini disebut Garis Selidik. Daripada kita capek ngitung manual kombinasi satu-satu pakai rumus, mending kita "sapu" aja daerah penyelesaiannya pakai garis ini layaknya radar pemindai!