Trik Eksponen: Samakan Basisnya Dulu!

Aturan Emas: Samakan Basis

Bilangan berpangkat dengan basis berbeda tidak boleh langsung dikalikan atau dibagi; basisnya harus disamakan terlebih dahulu.

Bayangkan basis eksponen seperti mata uang: angka $2$ itu Rupiah, sedangkan angka $4$ itu Dolar. Kita tidak bisa langsung menjumlahkan lembaran Rupiah dan Dolar begitu saja. Agar bisa dihitung bersama, kita harus menukar mata uang Dolar ke Rupiah terlebih dahulu. Begitu pula dalam aljabar eksponen: bilangan $4$ harus kita 'tukar' ke bentuk basis terkecilnya, yaitu $2^2$.

Simulasi di atas menunjukkan bagaimana bentuk $q = 4^2$ diubah secara bertahap:

Ganti basis $4$ menjadi $(2^2)$, sehingga bentuknya menjadi $(2^2)^2$.
Gunakan sifat pangkat berpangkat: $(2^2)^2 = 2^{2 \times 2} = 2^4$.
Sekarang kalikan dengan $2$ (yang bernilai $2^1$):

$$2q = 2^1 \times 2^4 = 2^{1+4} = 2^5$$

Karena nilai $p = 2^5$, maka terbukti bahwa $2q = p$. Hasil ini memastikan bahwa Opsi A benar.

Bentuk sederhana dari operasi perkalian $3 \times 9^3$ adalah ....

$3^7$
$27^3$
$9^4$
$3^4$

Jawaban: $3^7$

Ubah bilangan 9 menjadi basis 3, yaitu $9 = 3^2$. Maka, $9^3 = (3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6$. Operasi perkalian menjadi $3^1 \times 3^6 = 3^{1+6} = 3^7$. Pengecoh $27^3$ salah karena mengalikan basis secara langsung ($3 \times 9$) tanpa menyamakan basis terlebih dahulu.

Mengubah basis untuk menyederhanakan perkalian eksponen

Pembagian dengan Basis Sama

Setelah basis disamakan, operasi pembagian dilakukan dengan mengurangkan pangkatnya.

Sama seperti operasi perkalian, aturan konversi mata uang juga berlaku mutlak pada pembagian. Kita tidak boleh membagi bilangan berpangkat jika pecahan mata uangnya masih berbeda. Namun, saat kedua bilangan sudah memiliki basis yang sama, kita cukup mengurangkan eksponennya sesuai sifat $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Mari kita uji Opsi D, yaitu pembagian $p : q$:

Nilai $p = 2^5$
Nilai $q = 4^2 = 2^4$

Karena basis keduanya sudah sama-sama $2$, kita dapat mengurangkan pangkatnya secara langsung:

$$p : q = \frac{2^5}{2^4} = 2^{5 - 4} = 2^1 = 2$$

Menggabungkan Pangkat Negatif

Pangkat negatif menunjukkan kebalikan nilai (pecahan), dan aturannya tetap sama: samakan basis lalu jumlahkan pangkat untuk perkalian.

Kita tahu bahwa pangkat negatif mengubah posisi bilangan menjadi penyebut pecahan, misalnya $8^{-1} = \frac{1}{8}$. Namun, agar perhitungan operasi perkalian tetap cepat dan efisien tanpa harus berkutat dengan pecahan panjang, kita cukup menukar angka $8$ ke basis $2$.

Karena $8 = 2^3$, maka variabel $r$ dapat dituliskan sebagai:

$$r = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{3 \times (-1)} = 2^{-3}$$

Sekarang, kita bisa menguji dua pernyataan lainnya dengan sangat mudah:

Uji Opsi B ($p \times r$):
$$p \times r = 2^5 \times 2^{-3} = 2^{5 + (-3)} = 2^2 = 4$$
Hasil perhitungannya tepat bernilai $4$, sehingga Opsi B benar.
Uji Opsi C ($q \times r$):
$$q \times r = 2^4 \times 2^{-3} = 2^{4 + (-3)} = 2^1 = 2$$
Hasil perhitungannya tepat bernilai $2$, sehingga Opsi C benar.

Tentukan kebenaran dari pernyataan berikut tentang operasi eksponen.

Hasil dari $2^4 \times 4^{-1}$ adalah 4. — Benar
Hasil dari $4^2 \times 8^{-1}$ adalah 8. — Salah

Pernyataan 1 Benar: ubah $4^{-1} = (2^2)^{-1} = 2^{-2}$, sehingga $2^4 \times 2^{-2} = 2^{4+(-2)} = 2^2 = 4$. Pernyataan 2 Salah: ubah $4^2 = (2^2)^2 = 2^4$ dan $8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$, sehingga $4^2 \times 8^{-1} = 2^4 \times 2^{-3} = 2^{4+(-3)} = 2^1 = 2$, bukan 8.

Melakukan perkalian pangkat dengan melibatkan pangkat negatif setelah menyamakan basis