Barisan Campuran: Aritmetika Bertemu Geometri
Cara Cerdas Memisalkan Barisan
Memisalkan tiga bilangan barisan aritmetika secara simetris akan mempermudah perhitungan saat jumlah ketiganya diketahui.
Saat melihat soal dengan tiga bilangan berurutan yang jumlahnya $24$, godaan terbesar adalah langsung menebak angka, misalnya $6, 8,$ dan $10$. Angka-angka ini memang membentuk barisan aritmetika dengan selisih tetap dan jumlahnya $24$. Namun, jalan tebak-tebakan sangat berisiko karena masih ada syarat kedua yang belum diuji—inilah jebakan yang membuat Opsi C ($6 \times 8 \times 10 = 480$) tampak benar padahal salah.
Menyelesaikan soal barisan campuran mirip seperti merakit mesin dua tahap. Tahap pertama adalah merakit kerangka dasar aritmetika secara aljabar agar seimbang. Jika kita memisalkan tiga suku seperti biasa dengan $x, x+b, x+2b$, kita akan memiliki dua variabel yang tersisa saat dijumlahkan. Namun, jika kita menggunakan pemisalan simetris:
Suku 1: $a - b$
Suku 2: $a$
Suku 3: $a + b$
Variabel selisih (beda) $b$ akan langsung saling menghilangkan saat dijumlahkan:
$$\begin{aligned} (a - b) + a + (a + b) &= 24 \\ 3a &= 24 \\ a &= 8 \end{aligned}$$
Dengan trik simetri ini, suku tengah $a = 8$ langsung kita temukan tanpa perlu eliminasi yang rumit. Ketiga bilangan kita sekarang berbentuk $(8 - b), 8,$ dan $(8 + b)$. Kerangka dasar kita sudah siap untuk dibawa ke tahap berikutnya.
Lima bilangan membentuk barisan aritmetika dengan jumlah total sebesar $50$. Berapakah nilai suku tengah dari kelima bilangan tersebut?
- 5
- 10
- 15
- 25
Jawaban: 10
Jika lima suku dimisalkan simetris sebagai $(a-2b), (a-b), a, (a+b), (a+2b)$, maka jumlah kelimanya adalah $5a$. Diketahui $5a = 50$, sehingga suku tengah $a = 10$. Pilihan 25 salah karena membagi total dengan 2, sedangkan 5 dan 15 akibat salah operasi pembagian.
Memanfaatkan pemisalan simetris untuk mencari suku tengah dari jumlah barisan aritmetika.
Beda Aturan Main Geometri
Barisan geometri dibangun berdasarkan perbandingan (rasio) yang tetap, berbeda dengan barisan aritmetika yang berdasar selisih yang tetap.
Untuk menyalakan mesin penyelesaian di tahap kedua, kita perlu memahami aturan main dari barisan geometri. Banyak siswa keliru memperlakukan barisan geometri dengan pola pengurangan, menganggap bahwa $U_3 - U_2 = U_2 - U_1$. Hubungan selisih ini murni milik barisan aritmetika karena aturannya adalah penambahan atau pengurangan angka yang sama (beda).
Sebaliknya, barisan geometri bekerja dengan perkalian atau pembagian oleh pengali tetap yang disebut rasio. Artinya, hasil bagi antara suku yang berurutan selalu bernilai sama:
$$\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2} = r$$
Dari definisi pecahan ini, kita dapat melakukan perkalian silang untuk menghasilkan sifat perkalian suku tengah yang sangat elegan:
$$(U_2)^2 = U_1 \times U_3$$
Hubungan $(U_2)^2 = U_1 \times U_3$ inilah "sakelar mesin" utama kita: kuadrat suku tengah selalu sama dengan hasil kali kedua suku di sampingnya. Hubungan ini membebaskan kita dari bentuk pecahan rasio dan langsung menyediakan persamaan aljabar yang rapi.
Diberikan tiga bilangan x, y, dan z yang membentuk barisan geometri. Tentukan kebenaran dari setiap pernyataan berikut!
- Nilai z dikurangi y sama dengan nilai y dikurangi x. — Salah
- Hasil bagi z dengan y sama dengan hasil bagi y dengan x. — Benar
- Kuadrat dari suku tengah y selalu sama dengan hasil kali x dan z. — Benar
Pernyataan 1 Salah karena selisih tetap $(z - y = y - x)$ adalah sifat barisan aritmetika. Pernyataan 2 Benar karena rasio tetap pada barisan geometri dinyatakan sebagai hasil bagi suku berurutan $(z/y = y/x)$. Pernyataan 3 Benar karena hasil perkalian silang rumus rasio menghasilkan $(y)^2 = x \times z$.
Mengenali hubungan rasio antar suku pada barisan geometri.
Memasukkan Variabel ke Sifat Geometri
Sifat suku tengah barisan geometri dapat digunakan untuk membentuk persamaan yang menemukan nilai beda dari barisan mula-mula.
Setelah kerangka awal kita dapatkan di tahap pertama, yaitu $(8 - b), 8,$ dan $(8 + b)$, sekarang saatnya kita menyalakan mesin penyelesaian dengan menerapkan syarat kedua dari soal. Soal menyatakan bahwa jika suku ketiga ditambah dengan $4$, ketiga bilangan tersebut berubah menjadi barisan geometri.
Mari kita ubah suku-sukunya sesuai petunjuk tersebut:
Suku 1 ($U_1$): $8 - b$
Suku 2 ($U_2$): $8$
Suku 3 ($U_3$): $(8 + b) + 4 = 12 + b$
Sekarang, kita pasang ketiga suku ini ke dalam sifat kunci geometri yang sudah kita buktikan sebelumnya:
$$(U_2)^2 = U_1 \times U_3$$
$$8^2 = (8 - b)(12 + b)$$
Perhatikan kenapa menebak angka langsung di awal hampir selalu menjebak:
Jika kamu menebak bilangan $5, 8, 11$ (yang hasil kalinya $440$ di Opsi B), suku ketiganya menjadi $11 + 4 = 15$. Pengujian geometri menghasilkan $8^2 = 64$, sedangkan $5 \times 15 = 75$ (tidak sama, gagal memenuhi barisan geometri).
Jika kamu menebak beda bernilai nol yaitu $8, 8, 8$ (yang hasil kalinya $512$ di Opsi D), suku ketiganya menjadi $8 + 4 = 12$. Pengujian geometri menghasilkan $8^2 = 64$, sedangkan $8 \times 12 = 96$ (juga gagal).
Kita selesaikan persamaan aljabarnya secara bertahap dengan mengalikan kedua faktor di ruas kanan:
$$\begin{aligned} 64 &= (8 \times 12) + (8 \times b) - (b \times 12) - (b \times b) \\ 64 &= 96 + 8b - 12b - b^2 \\ 64 &= 96 - 4b - b^2 \end{aligned}$$
Pindahkan semua suku ke ruas kiri agar koefisien $b^2$ bernilai positif:
$$\begin{aligned} b^2 + 4b + 64 - 96 &= 0 \\ b^2 + 4b - 32 &= 0 \end{aligned}$$
Sebuah persamaan kuadrat utuh telah terbentuk. Persamaan inilah yang memegang kunci untuk mengungkap nilai beda $b$ yang sebenarnya.