Membaca Batas Grafik & Menyusun Rumusnya

Membaca Domain dan Range

Domain dilihat dari batas paling kiri dan paling kanan sumbu x, sedangkan range dari titik paling bawah dan paling atas sumbu y.

Bayangkan grafik seperti memetakan batas wilayah sebuah pulau:

Domain (Daerah Asal) diukur seperti garis bujur: bentangan horizontal dari barat ke timur (kiri ke kanan pada Sumbu X).
Range (Daerah Hasil) diukur seperti garis lintang: bentangan vertikal dari selatan ke utara (bawah ke atas pada Sumbu Y).

Pada grafik soal, kita memiliki ruas garis yang berujung di titik $(-2, 5)$ dan $(6, -3)$. Jika diproyeksikan ke sumbu:

Mencari Domain: Ujung paling kiri berada di $x = -2$ dan ujung paling kanan berhenti di $x = 6$. Artinya, domainnya adalah $-2 \le x \le 6$ (Pernyataan 1 BENAR).
Mencari Range: Titik paling bawah berada di ketinggian $y = -3$ dan titik paling atas mencapai $y = 5$. Grafiknya tidak pernah melebihi batas atas ini, sehingga range-nya adalah $-3 \le y \le 5$.

Sebuah ruas garis pada bidang koordinat membentang dari titik ujung (-4, 1) sampai titik ujung (2, 8). Manakah pernyataan yang tepat mengenai range grafik tersebut?

Mulai dari 1 hingga 8 di sumbu y
Mulai dari -4 hingga 2 di sumbu x
Semua nilai y yang lebih dari 1
Mulai dari -4 hingga 8 di grafik

Jawaban: Mulai dari 1 hingga 8 di sumbu y

Range adalah himpunan semua nilai output pada sumbu y. Dari koordinat titik (-4, 1) dan (2, 8), nilai vertikal terendah adalah y = 1 dan nilai tertinggi adalah y = 8, sehingga rangenya adalah 1 hingga 8 di sumbu y. Opsi B salah karena itu adalah domain (sumbu x). Opsi C salah karena mengabaikan batas atas di y = 8. Opsi D salah karena mencampurkan nilai x dan y.

Domain dan range ditentukan berdasarkan proyeksi ujung-ujung grafik ke sumbu x dan sumbu y.

Simbol Batas di Ujung Grafik

Bulatan penuh di ujung grafik berarti angka batas tersebut ikut masuk interval, sehingga pertidaksamaannya ditulis dengan tanda kurang dari atau sama dengan.

Diagram perbandingan bulatan penuh dan bulatan bolong pada garis bilangan matematika.

Tanda bulatan di ujung garis memberi instruksi matematika yang tegas:

Titik Penuh (Solid): Nilai di koordinat tersebut Masuk ke dalam himpunan penyelesaian. Simbol yang digunakan adalah $\le$ atau $\ge$, atau tanda kurung siku $[ \dots ]$.
Titik Bolong (Hollow): Koordinat tersebut hanya berlaku sebagai Batas luar dan nilainya tidak boleh disentuh. Simbol yang digunakan adalah $<$ atau $>$, atau tanda kurung biasa $( \dots )$.

Pada soal kita, kedua ujung grafik di titik $(-2, 5)$ dan $(6, -3)$ digambarkan dengan bulatan hitam penuh. Inilah alasan kenapa penulisan domainnya wajib menggunakan tanda pertidaksamaan bertanda sama dengan:

$$\text{Domain} = \{x \mid -2 \le x \le 6, \, x \in \mathbb{R}\}$$

Begitu juga dengan daerah hasilnya:

$$\text{Range} = \{y \mid -3 \le y \le 5, \, y \in \mathbb{R}\}$$

Jika salah satu ujungnya bolong, tanda $\le$ di sisi tersebut harus diganti menjadi $<$ murni.

Sebuah fungsi memiliki grafik dengan ujung kiri berupa bulatan penuh di x = 0 dan ujung kanan berupa bulatan bolong di x = 10. Bagaimana notasi domain grafik tersebut yang benar?

0 < x < 10
0 ≤ x ≤ 10
0 ≤ x < 10
x ≥ 0

Jawaban: 0 ≤ x < 10

Ujung kiri x = 0 memiliki bulatan penuh, artinya nilai 0 ikut masuk (menggunakan tanda ≤). Ujung kanan x = 10 memiliki bulatan bolong, artinya nilai 10 hanya batas luar dan tidak ikut (menggunakan tanda <). Notasi yang tepat adalah 0 ≤ x < 10. Opsi A salah karena memakai < di angka 0. Opsi B salah karena memakai ≤ di angka 10. Opsi D salah karena mengabaikan batas kanan.

Bulatan penuh pada batas bawah dan bolong pada batas atas diterjemahkan menjadi interval dengan tanda ≤ di kiri dan < di kanan.

Menyusun Rumus Lewat Dua Titik

Semua titik pada garis lurus memiliki rasio kemiringan yang sama, yang memungkinkan kita mencari rumus fungsinya jika tahu dua titik.

Diagram substitusi persamaan garis lurus melalui dua titik dengan penandaan warna.

Untuk menemukan rumus fungsi linear $f(x) = ax + b$, kamu tidak wajib menunggu garis memotong titik pusat $(0,0)$ atau sumbu koordinat. Cukup ambil dua titik koordinat sembarang yang dilalui grafik:

Titik Pertama: $(x_1, y_1) = (-2, 5)$
Titik Kedua: $(x_2, y_2) = (6, -3)$

Gunakan rumus baku perbandingan dua titik:

$$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$

Masukkan nilainya secara teratur:

$$\frac{y - 5}{-3 - 5} = \frac{x - (-2)}{6 - (-2)} \implies \frac{y - 5}{-8} = \frac{x + 2}{8}$$

Kalikan kedua ruas dengan $-8$ untuk menyederhanakan pecahan:

$$y - 5 = -1 \cdot (x + 2)$$

$$y - 5 = -x - 2 \implies y = -x + 3$$

Rumus fungsinya terbukti adalah $f(x) = -x + 3$ (Pernyataan 4 BENAR).