Kombinasi Linear: Manipulasi Paket Persamaan

Jebakan "Cari Nilai Satu per Satu"

Waktu ketemu soal Sistem Persamaan Linear, insting pertama kita biasanya langsung ambil pensil dan coba eliminasi atau substitusi buat nyari nilai masing-masing variabel: "$x$-nya berapa ya? $y$-nya berapa?".

Tapi di soal ini, strategi itu pasti berujung jalan buntu. Coba perhatikan lagi komposisi soalnya:

• Ada 3 variabel yang belum diketahui ($x, y,$ dan $z$).

• Tapi cuma dikasih 2 persamaan ($3x - 2y + 3z = 6$ dan $-2x + y + 2z = 7$).

Dalam matematika, kondisi di mana jumlah informasi (persamaan) lebih sedikit dibanding jumlah yang mau dicari (variabel) disebut sebagai sistem yang underdetermined.

Inilah alasan kenapa opsi "tidak dapat ditentukan" kelihatan sangat menggoda dan banyak yang terjebak di sana. Tapi tunggu dulu, soal ini sebenernya tidak pernah meminta kita mencari nilai tunggal $x$, $y$, ataupun $z$!

Soal cuma minta nilai dari sebuah gabungan utuh: $8x - 5y + 4z$. Dan untuk mencari nilai utuh ini, kita punya jalan tikus yang cerdas tanpa perlu tahu nilai satuan tiap variabelnya.

Analogi Belanja Paket

Karena kita gak bisa tau harga per biji (nilai tunggal $x, y, z$), mari kita ubah cara pandangnya pakai analogi belanja.

Bayangkan variabel-variabel itu sebagai barang yang dijual di dalam bundel/paket. Persamaan pertama adalah Paket 1. Isinya: $3$ buah $x$, $-2$ buah $y$, dan $3$ buah $z$. Total harganya $= 6$. Persamaan kedua adalah Paket 2. Isinya: $-2$ buah $x$, $1$ buah $y$, dan $2$ buah $z$. Total harganya $= 7$.

Sekarang, soal meminta kita mencari harga dari sebuah Paket Target yang isinya harus persis: $8x, -5y,$ dan $4z$.

Dalam matematika, mengalikan suatu persamaan itu sama kayak kita membeli kelipatan dari paket tersebut. Menjumlahkan persamaan berarti kita menggabung isinya ke satu keranjang. Kalau isi keranjang akhirnya udah sama persis dengan Paket Target, berarti total harga gabungan yang kita hitung tadi adalah harga asli dari Paket Target tersebut!

Meracik Pengali (Koefisien a dan b)

Ide meracik paket belanja tadi, kalau diterjemahin ke bahasa aljabar disebut membuat kombinasi linear. Kita butuh angka pengali, sebut saja $a$ untuk jumlah Paket 1, dan $b$ untuk jumlah Paket 2.

Target kita: $a(3x - 2y + 3z) + b(-2x + y + 2z) = 8x - 5y + 4z$

Gimana cara mencari nilai $a$ dan $b$ yang pas? Kita samakan saja koefisien barangnya satu per satu!

Tinjau barang $x$ saja: Paket 1 memberikan $3x$, dikali $a$ jadi $3a$. Paket 2 memberikan $-2x$, dikali $b$ jadi $-2b$. Gabungannya harus menjadi $8x$. Maka terbentuk persamaan baru: $3a - 2b = 8$

Lakukan hal yang sama untuk barang $y$: Paket 1 memberikan $-2y \rightarrow -2a$. Paket 2 memberikan $1y \rightarrow 1b$. Gabungannya harus menjadi $-5y$. Maka persamaannya: $-2a + b = -5$

Nah, sekarang kita cuma punya 2 variabel ($a$ dan $b$) dan 2 persamaan. Ini gampang banget diselesaikan pakai cara substitusi biasa! Dari persamaan $y$, kita dapat $b = 2a - 5$. Substitusikan ke persamaan $x$: $3a - 2(2a - 5) = 8$ $3a - 4a + 10 = 8$ $-a = -2 \rightarrow a = 2$

Masukkan nilai $a=2$ buat dapet $b$: $b = 2(2) - 5 \rightarrow b = -1$

Artinya, kita secara ajaib sudah menemukan racikannya: kita butuh mengalikan persamaan pertama dengan $2$ dan persamaan kedua dengan $-1$.