Membongkar Logika Peluang Berurutan

Logika Aturan Perkalian

Kejadian yang harus terjadi berturut-turut secara logika membentuk ranting cabang, sehingga peluangnya semakin kecil dan dihitung dengan perkalian.

Bayangkan Pohon Ranting Jalur Pilihan: setiap kali sebuah kejadian berlangsung, kita sedang memilih satu cabang dari batang utama. Jika kita harus melewati kejadian pertama DAN kejadian kedua berturut-turut, kita harus berjalan menyusuri cabang pertama, lalu mengambil cabang berikutnya dari ujung cabang tadi. Mengambil cabang baru dari cabang yang sudah ada secara matematis berarti mengambil "bagian dari suatu bagian", yang diwujudkan melalui operasi perkalian pecahan. Prinsip ini dinamakan Aturan Perkalian.

Mengapa peluang berurutan tidak boleh dijumlahkan? Jika kita menjumlahkan peluang di tiap tahap—misalnya $\frac{5}{10} + \frac{4}{9} + \frac{5}{8}$—hasilnya bernilai lebih dari $1$, yaitu sekitar $1{,}57$. Dalam teori probabilitas, peluang suatu kejadian tidak pernah melebihi $1$ ($100\%$). Setiap syarat tambahan yang harus dipenuhi secara beruntun justru mempersempit kemungkinan terwujudnya skenario tersebut, bukan memperluasnya.

Menyusun Ranting Soal

Peluang pada setiap tahap pengambilan tanpa pengembalian dihitung berdasarkan ruang sampel yang tersisa dari tahap sebelumnya.

Diagram jalur pohon keputusan untuk tiga tahap pemilihan: Laki-laki pertama, Laki-laki kedua, dan Perempuan ketiga

Kini kita petakan kondisi pada soal ke dalam ranting keputusan bertahap:

  1. Tahap 1 (Bidang Pertama: Laki-laki): Dari total $10$ siswa ($5$ laki-laki dan $5$ perempuan), terpilih $1$ laki-laki. Peluangnya adalah $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

  2. Tahap 2 (Bidang Kedua: Laki-laki): Karena $1$ siswa laki-laki sudah terpilih dan tidak dapat dipilih lagi, jumlah siswa laki-laki tersisa $4$ orang dan total ruang sampel menyusut menjadi $9$ orang. Peluang bersyaratnya adalah $\frac{4}{9}$.

  3. Tahap 3 (Bidang Ketiga: Perempuan): Dua siswa laki-laki telah terpilih, menyisakan total $8$ orang di ruang tunggu. Namun, jumlah siswa perempuan masih utuh sebanyak $5$ orang. Peluangnya adalah $\frac{5}{8}$.

Dengan mengalikan ketiga pecahan sepanjang ranting tersebut, kita peroleh:

$$P = \frac{5}{10} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{20}{144} = \frac{5}{36}$$

Perhitungan ini membuktikan bahwa Opsi B adalah jawaban yang benar.

Sebuah laci berisi 4 kaus kaki hitam dan 3 kaus kaki putih. Jika diambil dua kaus kaki berturut-turut tanpa dikembalikan, berapa peluang terambilnya kaus kaki hitam pada pengambilan pertama dan kaus kaki putih pada pengambilan kedua?

  • 12/49
  • 2/7
  • 15/14
  • 4/7

Jawaban: 2/7

Peluang hitam pertama adalah $\frac{4}{7}$. Karena tanpa pengembalian, tersisa 6 kaus kaki dengan 3 di antaranya putih, sehingga peluang putih kedua adalah $\frac{3}{6}$. Dengan Aturan Perkalian, peluang gabungannya adalah $\frac{4}{7} \times \frac{3}{6} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7}$ (Opsi B). Opsi A salah karena menganggap kaus kaki dikembalikan ($\frac{4}{7} \times \frac{3}{7}$). Opsi C salah karena menjumlahkan pecahan bukan mengalikan. Opsi D salah karena hanya menghitung tahap pertama.

Menghitung peluang dua kejadian berurutan tanpa pengembalian menggunakan aturan perkalian.

Kenapa Bukan Kombinasi?

Rumus kombinasi mencari peluang kelompok dalam urutan acak, sedangkan aturan perkalian bertahap langsung mencari satu urutan yang spesifik.

Sering kali muncul pertanyaan: kapan kita memakai aturan bertahap dan kapan memakai kombinasi? Kombinasi digunakan saat kita memilih sekumpulan objek sekaligus tanpa memedulikan urutan atau posisi masing-masing anggota kelompok.

Jika kita menghitung peluang terpilihnya $2$ laki-laki dan $1$ perempuan menggunakan kombinasi:

$$P = \frac{\binom{5}{2} \times \binom{5}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{10 \times 5}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}$$

Nilai $\frac{5}{12}$ ini mencakup seluruh variasi urutan yang mungkin: (L-L-P), (L-P-L), maupun (P-L-L). Karena masing-masing dari ketiga urutan tersebut berpeluang sama ($\frac{5}{36}$), total ketiganya adalah $3 \times \frac{5}{36} = \frac{5}{12}$. Namun, soal secara gamblang menetapkan urutan bidang lomba: bidang pertama laki-laki, bidang kedua laki-laki, dan bidang ketiga perempuan.

Oleh karena urutannya sudah terkunci pada satu jalur spesifik, Aturan Perkalian bertahap jauh lebih langsung dan aman. Mencoba memaksakan rumus faktorial kombinasi tanpa memisahkan urutannya sering kali memicu kekeliruan hitung atau penyederhanaan yang melenceng menjadi $\frac{1}{6}$ (Opsi A).