Bongkar Casing Aljabar Pangkat Tiga
Mengenal Operasi Buatan
Simbol operasi unik dalam soal matematika adalah aturan buatan sementara, bukan sekadar operasi tambah atau kali biasa.
Ketika kamu melihat simbol asing seperti $\Delta$, jangan langsung menebaknya sebagai lambang penjumlahan biasa. Di dalam matematika, ini dinamakan Operasi Didefinisikan—sebuah aturan berhitung buatan yang dirancang khusus untuk soal tersebut.
Bayangkan operasi ini seperti mesin penggiling khusus. Mesin tersebut memiliki dua corong masuk untuk variabel $m$ dan $n$, lalu memproses keduanya mengikuti mekanisme:
$$m \Delta n = \frac{m^3 - n^3}{m - n} - mn$$
Sebelum terburu-buru memasukkan angka ke dalam mesin yang kelihatannya rumit ini, kita perlu melihat apakah susunan rumusnya bisa disederhanakan terlebih dahulu.
Membongkar Casing Pangkat Tiga
Bentuk aljabar yang rumit sering kali dapat diurai menjadi sederhana dengan menggunakan Faktorisasi khusus.
Casing luar dari mesin operasi $\Delta$ terlihat menakutkan karena memuat pecahan berpangkat tiga. Namun, ada identitas aljabar baku bernama Selisih Pangkat Tiga:
$$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$$
Jika kita masukkan identitas ini ke posisi pembilang pecahan pada rumus operasi tadi, kita peroleh:
$$m \Delta n = \frac{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}{m - n} - mn$$
Karena dari soal disyaratkan $m \neq n$, nilai $(m - n)$ tidak sama dengan nol. Artinya, suku $(m - n)$ pada pembilang dan penyebut boleh saling membagi (dicoret):
$$\begin{aligned} m \Delta n &= (m^2 + mn + n^2) - mn \\ &= m^2 + n^2 \end{aligned}$$
Ternyata, mesin yang tadinya berpenampilan rumit itu sebenarnya hanyalah mesin sederhana yang menjumlahkan kuadrat dari kedua bilangannya: $m \Delta n = m^2 + n^2$.
Jika diketahui $p \neq q$, bentuk paling sederhana dari pecahan $\frac{p^3 - q^3}{p - q}$ adalah...
- p^2 + pq + q^2
- p^2 - pq + q^2
- p^2 - q^2
- (p - q)^2
Jawaban: p^2 + pq + q^2
Bentuk selisih pangkat tiga difaktorkan menjadi p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2). Karena p ≠ q, faktor (p - q) pada pembilang dan penyebut saling membagi (mencoret), menyisakan p^2 + pq + q^2. Opsi B salah tanda pada suku tengah, Opsi C tertukar dengan selisih kuadrat, dan Opsi D adalah hasil pembagian parsial yang keliru.
Faktorisasi selisih pangkat tiga membantu menyederhanakan pecahan aljabar yang mengandung suku (m-n).
Menjalankan Mesin Kuadrat
Persamaan kuadrat yang muncul dari operasi aljabar harus diselesaikan dengan memperhatikan syarat awal agar didapat satu nilai yang valid.
Setelah bentuk aslinya terbuka menjadi $m \Delta n = m^2 + n^2$, sekarang kita bisa memasukkan nilai yang diketahui dari soal, yaitu $a \Delta 2 = 13$:
$$\begin{aligned} a^2 + 2^2 &= 13 \\ a^2 + 4 &= 13 \\ a^2 &= 9 \end{aligned}$$
Persamaan $a^2 = 9$ merupakan persamaan kuadrat murni. Secara aljabar, Akar Persamaan Kuadrat ini menghasilkan dua kemungkinan nilai:
$$a = 3 \quad \text{atau} \quad a = -3$$
Kedua nilai tersebut jika dikuadratkan memang bernilai $9$. Namun, perhatikan kembali batasan yang tertulis pada teks soal: nilai $a$ adalah bilangan real positif ($a > 0$).
Diberikan persamaan $k^2 = 25$ dengan syarat $k$ adalah bilangan bulat negatif. Tentukan kebenaran setiap pernyataan berikut!
- Nilai $k$ yang memenuhi persamaan tersebut hanyalah $-5$. — Benar
- Nilai $k = 5$ tetap dianggap sebagai solusi akhir yang sah. — Salah
Persamaan k^2 = 25 memiliki dua akar persamaan kuadrat, yaitu k = 5 atau k = -5. Namun, syarat soal menetapkan k adalah bilangan bulat negatif, sehingga k = 5 gugur dan solusi satu-satunya adalah k = -5. Oleh karena itu, pernyataan pertama Benar dan pernyataan kedua Salah.
Solusi persamaan kuadrat murni menghasilkan dua nilai berlawanan tanda, yang salah satunya digugurkan lewat syarat.