Mesin Fungsi: Domain hingga Komposisi

Batas Input dan Output Mesin

Domain adalah bahan baku yang bisa masuk ke mesin, sedangkan range adalah jenis barang hasil produksinya.

Bayangkan fungsi $p(x) = x^2 - 2x + 1$ sebagai sebuah mesin pabrik. Variabel $x$ bertindak sebagai bahan baku (input), mesin $p$ mengolah bahan tersebut, dan nilai yang keluar dinamakan barang jadi (output atau $y$). Mesin polinomial seperti $p(x)$ sangat tangguh karena ia tidak memiliki penyebut pecahan ataupun bentuk akar yang membatasi. Artinya, mesin ini sanggup menerima bahan baku angka berapa pun—baik bilangan bulat positif, negatif, nol, maupun desimal. Oleh sebab itu, daerah asalnya mencakup seluruh bilangan real, $D_p = \{x \mid x \in \mathbb{R}\}$, yang membuktikan bahwa Opsi A benar.

Bagaimana dengan barang jadi yang dihasilkan oleh mesin $p$? Kita dapat menulis ulang bentuk $p(x) = x^2 - 2x + 1$ menjadi bentuk kuadrat sempurna, yaitu $p(x) = (x - 1)^2$. Di dunia matematika, bilangan real apa pun jika dikuadratkan hasilnya tidak akan pernah bernilai negatif.

Coba kita uji dengan beberapa angka konkret:

Jika kita masukkan $x = 3$, maka $(3 - 1)^2 = 2^2 = 4$.
Jika kita masukkan angka negatif $x = -2$, maka $(-2 - 1)^2 = (-3)^2 = 9$.

Bahkan ketika bahan bakunya bernilai negatif, hasil produksinya tetap positif! Nilai paling rendah tercapai saat $x = 1$, yaitu $(1 - 1)^2 = 0$. Karena barang jadi mesin $p(x)$ selalu bernilai nol atau lebih besar, maka daerah hasilnya adalah $R_p = \{y \mid y \ge 0, y \in \mathbb{R}\}$. Hal ini membuktikan bahwa Opsi B benar.

Diberikan fungsi kuadrat $f(x) = x^2 + 5$. Tentukan kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut!

Fungsi f(x) dapat menghasilkan nilai output -2 jika kita memasukkan input yang tepat. — Salah
Range dari fungsi f(x) tersebut adalah y >= 5. — Benar

Bentuk kuadrat x^2 bernilai minimal 0 untuk setiap bilangan real x. Jika ditambahkan 5, nilai f(x) = x^2 + 5 paling kecil adalah 0 + 5 = 5. Oleh karena itu, fungsi f(x) tidak akan pernah menghasilkan nilai di bawah 5 (termasuk -2), sehingga pernyataan 1 Salah dan pernyataan 2 Benar.

Range dari fungsi berbentuk kuadrat selalu tidak negatif.

Memutar Balik Mesin

Fungsi invers bekerja seperti mesin yang berjalan mundur, mengubah output kembali menjadi input asal.

Mesin pabrik kedua kita adalah fungsi linear $q(x) = x + 1$. Tugas mesin ini sangat sederhana: mengambil bahan baku $x$ lalu menambahkan nilainya dengan $1$. Sebagai contoh, jika kita memasukkan bahan baku bernilai $5$, mesin akan mengeluarkan barang jadi bernilai $6$.

Ilustrasi mesin pengolah dan mesin pembalik yang membalikkan proses pertambahan menjadi pengurangan.

Sekarang, bayangkan kita ingin membuat mesin pembongkar atau fungsi invers, yang dilambangkan dengan $q^{-1}(x)$. Mesin pembongkar ini harus mampu menerima barang jadi bernilai $6$ dan memprosesnya mundur agar kembali utuh menjadi bahan baku awal, yaitu $5$. Secara logika, proses "tambah $1$" tentu harus dibalik dengan operasi lawannya, yaitu "kurangi $1$".

Secara aljabar, kita mencarinya dengan memisalkan output sebagai $y$:

$$y = x + 1$$

Untuk menemukan mesin kebalikannya, kita nyatakan variabel $x$ secara mandiri:

$$x = y - 1$$

Dengan menukar kembali perannya ke bentuk fungsi baku, diperoleh $q^{-1}(x) = x - 1$. Pernyataan pada soal menyebutkan bahwa inversnya adalah $x + 1$. Karena operasi penambahan tidak dibalik menjadi pengurangan, pernyataan pada Opsi C salah.

Terdapat fungsi linear $g(x) = x - 10$. Manakah fungsi invers $g^{-1}(x)$ yang tepat?

g^{-1}(x) = x - 10
g^{-1}(x) = x + 10
g^{-1}(x) = -x + 10
g^{-1}(x) = 10x

Jawaban: g^{-1}(x) = x + 10

Fungsi g(x) = x - 10 mengurangi bahan baku x dengan 10. Mesin invers harus membalikkan proses pengurangan tersebut dengan melakukan penambahan 10, yaitu g^{-1}(x) = x + 10 (Opsi B benar). Opsi A salah karena mengira fungsi invers sama dengan fungsi asalnya. Opsi C salah karena membalik tanda x bukan tanda operasi. Opsi D salah karena menukar pengurangan dengan perkalian.

Menentukan fungsi invers dengan membalik operasi matematika dasar.

Menyambung Dua Mesin

Fungsi komposisi $(p \circ q)(x)$ berarti bahan baku diproses di mesin $q$ terlebih dahulu, lalu hasilnya dimasukkan ke mesin $p$.

Notasi lingkaran kecil $(p \circ q)(x)$ dapat dibaca sebagai $p(q(x))$. Di pabrik, ini setara dengan menyambungkan pipa keluaran mesin $q$ langsung ke corong masukan mesin $p$. Ingat aturan utamanya: mesin yang posisinya paling dekat dengan $x$ (yaitu mesin yang ditulis di belakang) selalu memproses bahan baku terlebih dahulu.

Diagram alir komposisi fungsi p o q x yang menunjukkan input x diproses oleh mesin q terlebih dahulu lalu dilanjutkan ke mesin p.

Mari kita buktikan alur ini menggunakan bahan baku konkret $x = 3$:

Langkah 1 (Mesin $q$): Bahan baku $3$ masuk ke mesin $q$, menghasilkan $q(3) = 3 + 1 = 4$.
Langkah 2 (Mesin $p$): Hasil sementara bernilai $4$ ini langsung dialirkan masuk ke mesin $p$. Menggunakan bentuk $p(x) = (x - 1)^2$, kita peroleh $p(4) = (4 - 1)^2 = 3^2 = 9$.

Sekarang, kita buat rumus sambungan langsungnya secara aljabar. Kita gantikan setiap variabel input pada mesin $p$ dengan seluruh rumus dari mesin $q(x)$:

$$(p \circ q)(x) = p(q(x)) = p(x + 1)$$

Substitusikan ke dalam bentuk $p$:

$$p(x + 1) = ((x + 1) - 1)^2 = (x)^2 = x^2$$

Hasil aljabar ini cocok dengan uji coba angka kita sebelumnya (jika $x = 3$, maka $x^2 = 3^2 = 9$). Karena ekspresi yang diperoleh tepat sama dengan pernyataan pada soal, maka Opsi D benar.