Barisan vs Deret: Mengurai Sn Menjadi r

Membedakan Suku Tunggal dan Total Akumulasi

Suku ke-n ($u_n$) adalah nilai tunggal di satu titik, sementara jumlah n suku ($S_n$) adalah akumulasi jumlahan dari titik awal hingga titik tersebut.

Mari kita lihat pola angka nyata pada barisan geometri berikut: $2, 4, 8, 16, \dots$

Sekarang, apa yang terjadi jika kita menghitung selisih tabungan $S_3 - S_1$?

$$S_3 - S_1 = 14 - 2 = 12$$

Perhatikan angka $12$ tersebut. Angka $12$ tepat diperoleh dari penjumlahan gaji bulan ke-2 dan bulan ke-3:

$$u_2 + u_3 = 4 + 8 = 12$$

Artinya, ketika kamu mengambil seluruh tabungan hingga bulan ke-3 ($S_3$) lalu membuang tabungan bulan pertama ($S_1$), kamu langsung menyisakan gaji bulan ke-2 dan bulan ke-3 saja.

Secara matematis, bentuk pengurangan jumlahan selalu menyisakan suku-suku yang tidak terbuang:

$$S_3 - S_1 = (u_1 + u_2 + u_3) - u_1 = u_2 + u_3$$

Dengan memahami prinsip ini, persamaan pada soal yaitu $u_4 = S_3 - S_1$ tidak lagi tampak rumit, melainkan dapat langsung disederhanakan menjadi $u_4 = u_2 + u_3$.

Jika kita menjumlahkan seluruh gaji selama 5 bulan ($S_5$), lalu dikurangi dengan total gaji pada 2 bulan pertama ($S_2$), apa yang tersisa dari hasil pengurangan tersebut?

  • Hanya gaji pada bulan ke-3 (u3)
  • Selisih antara gaji bulan ke-5 dan gaji bulan ke-2 (u5 - u2)
  • Total gaji dari bulan ke-3, ke-4, dan ke-5 (u3 + u4 + u5)
  • Total akumulasi gaji dari bulan ke-1 sampai bulan ke-3 (S3)

Jawaban: Total gaji dari bulan ke-3, ke-4, dan ke-5 (u3 + u4 + u5)

Nilai $S_5$ mencakup seluruh gaji bulan 1 sampai 5 ($u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5$). Jika dikurangi $S_2$ ($u_1 + u_2$), maka dua bulan pertama hilang, menyisakan $u_3 + u_4 + u_5$. Pilihan A salah karena mengira selisih indeks $5 - 2 = 3$ langsung menunjuk satu suku $u_3$. Pilihan B salah karena mengira pengurangan total sama dengan selisih suku ujungnya saja. Pilihan D salah karena indeks tidak dikurangkan langsung menjadi deret baru $S_3$.

Pengurangan jumlah suku Sn dengan Sk menyisakan jumlahan suku-suku di antaranya

Membongkar Hubungan Barisan Menjadi Rasio

Semua suku di barisan geometri bisa dinyatakan hanya dengan dua bahan baku dasar: suku pertama ($a$) dan rasio ($r$).

Dari halaman sebelumnya, kita sudah menemukan bahwa hubungan $u_4 = S_3 - S_1$ dapat disederhanakan menjadi:

$$u_4 = u_2 + u_3$$

Setiap kali melangkah ke suku berikutnya pada barisan geometri, kita selalu mengalikan nilai suku sebelumnya dengan rasio ($r$). Karena rumus umum suku ke-$n$ adalah $u_n = a r^{n-1}$, kita dapat menerjemahkan ketiga suku tersebut ke dalam bentuk $a$ dan $r$:

Sekarang, masukkan ketiga bentuk dasar ini ke dalam persamaan $u_4 = u_2 + u_3$:

$$a r^3 = a r + a r^2$$

Karena soal menegaskan bahwa suku pertama positif ($u_1 = a > 0$), kita boleh membagi kedua ruas dengan $a$ tanpa mengubah kesetaraan:

$$r^3 = r + r^2$$

Selanjutnya, karena rasio diketahui lebih besar dari satu ($r > 1$), nilai $r$ pasti bukan nol ($r \neq 0$). Kita dapat membagi seluruh suku dengan $r$:

$$r^2 = 1 + r \implies r^2 - r - 1 = 0$$

Perhatikan apa yang terjadi: suku awal $a$ menghilang sepenuhnya dan menyisakan persamaan kuadrat murni dalam variabel $r$. Ini membuktikan bahwa nilai rasio $r$ sudah terikat dan dapat ditentukan secara tunggal langsung dari premis awal soal.

Dalam suatu barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$, terdapat hubungan persamaan $u_5 = u_3 + u_4$. Manakah bentuk persamaan yang tepat jika seluruh suku diubah ke dalam bentuk $a$ dan $r$?

  • a r^5 = a r^3 + a r^4
  • a r^4 = a r^2 + a r^3
  • a^5 r = a^3 r + a^4 r
  • a r^4 = a (r^2 + r^4)

Jawaban: a r^4 = a r^2 + a r^3

Pada barisan geometri, suku ke-$n$ dirumuskan sebagai $u_n = a r^{n-1}$. Pangkat dari rasio selalu berkurang 1 dari indeks suku: $u_5 = a r^4$, $u_3 = a r^2$, dan $u_4 = a r^3$. Pilihan A salah karena pangkatnya tidak dikurangi 1. Pilihan C salah karena pangkat justru diletakkan pada suku pertama $a$. Pilihan D salah dalam aljabar penyederhanaan suku-sukunya.

Representasi suku ke-n barisan geometri ke dalam suku pertama a dan rasio r

Menyimpulkan Kecukupan Data

Jika rasio dari suatu barisan sudah berhasil dikunci lewat satu premis, kita hanya butuh satu persamaan lagi apa pun bentuknya untuk mencari nilai akhirnya.

Dari persamaan kuadrat $r^2 - r - 1 = 0$, penyelesaian dengan rumus kuadrat menghasilkan dua akar:

$$r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{atau} \quad r = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

Karena syarat pada soal menetapkan bahwa $r > 1$, maka hanya ada satu nilai rasio yang memenuhi, yaitu $r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618$. Dalam soal bertipe kecukupan data, kita tidak perlu menghitung hasil akhirnya sampai desimal. Yang terpenting adalah menyadari bahwa nilai $r$ sudah pasti dan unik!

Pertanyaan utama soal adalah mencari nilai $u_5 = a r^4$. Karena nilai $r$ sudah kita ketahui dari premis awal, kita sekarang hanya membutuhkan nilai suku pertama $a$ (atau $u_1$).

Mari kita uji kedua pernyataan yang diberikan:

  1. Uji Pernyataan (1) secara mandiri: $u_3 = 4$ Rumus suku ke-3 adalah $u_3 = a r^2 = 4$. Karena nilai $r$ sudah pasti, kita dapat langsung menghitung $a = \frac{4}{r^2}$. Dengan $a$ dan $r$ yang keduanya sudah tertentu, nilai $u_5 = a r^4$ pasti bisa dihitung. Maka, Pernyataan (1) SAJA cukup.

  2. Uji Pernyataan (2) secara mandiri: $S_2 = 6$ Jumlah 2 suku pertama adalah $S_2 = u_1 + u_2 = a + a r = a(1 + r) = 6$. Karena nilai $r$ sudah pasti, kita dapat menghitung $a = \frac{6}{1 + r}$. Dengan nilai $a$ dan $r$ yang pasti, nilai $u_5$ juga pasti bisa dihitung. Maka, Pernyataan (2) SAJA cukup.

Analisis Pilihan Jawaban