Program Linear: Menaklukkan Fungsi Objektif
Mengenal Fungsi Objektif
Fungsi objektif $Z = 5x + 2y$ adalah sebuah wadah hasil yang ingin kita buat nilainya sebesar mungkin. Huruf $Z$ di sini bukanlah variabel yang harus kita cari persamaannya, melainkan skor total akhir yang keluar setelah kita memasukkan pasangan angka $(x, y)$.
Target kita adalah mencari pasangan koordinat $(x, y)$ yang sah secara pertidaksamaan kendala dan menghasilkan nilai $Z$ paling besar. Perhatikan perbandingan koefisien pada fungsi tersebut:
Setiap penambahan $1$ nilai $x$ memberikan tambahan $5$ poin.
Setiap penambahan $1$ nilai $y$ hanya memberikan tambahan $2$ poin.
Secara bobot, variabel $x$ bernilai lebih dari dua kali lipat variabel $y$. Karena tujuan kita adalah nilai maksimum, strategi logisnya adalah memprioritaskan pemilihan nilai $x$ sebesar mungkin selama kombinasi tersebut masih diizinkan oleh batasan kendala.
Kamu memiliki fungsi objektif Z = 8x + 3y. Jika kamu boleh memilih memperbesar x atau memperbesar y dengan kapasitas sumber daya yang setara, langkah logis mana yang cenderung memberikan skor Z paling tinggi?
- Memaksimalkan variabel x.
- Memaksimalkan variabel y.
- Membuat x dan y bernilai sama persis (seimbang).
- Memilih nilai terkecil untuk kedua variabel.
Jawaban: Memaksimalkan variabel x.
Koefisien x (8) jauh lebih besar dibanding koefisien y (3), jadi memperbesar nilai x akan mendongkrak total nilai Z secara paling cepat. Menyeimbangkan keduanya atau memperbesar y tidak menghasilkan skor optimal karena 'bobot poin' y lebih rendah.
Memahami dampak koefisien yang lebih tinggi pada nilai fungsi objektif jika dimaksimalkan.
Menentukan Titik Batas Maksimal
Kita harus menemukan batas terjauh wilayah angka yang dibolehkan dengan mencari perpotongan kendala pada sumbu. Nilai $x$ dan $y$ tidak dapat kita perbesar tanpa batas karena terikat oleh pertidaksamaan kendala $3x + 4y \le 24$.
Langkah pertama adalah menetapkan garis batas terluar dengan memandang bentuk persamaannya:
$$3x + 4y = 24$$
Untuk menemukan titik ekstrem pada sumbu koordinat, kita lakukan pengujian batas:
Jika $y = 0$, maka $3x = 24 \implies x = 8$. Didapat titik potong $(8, 0)$.
Jika $x = 0$, maka $4y = 24 \implies y = 6$. Didapat titik potong $(0, 6)$.
Karena syarat soal menyatakan $x$ dan $y$ adalah bilangan cacah (yaitu $\{0, 1, 2, 3, \dots\}$), pilihan nilai $(x, y)$ tidak boleh berupa pecahan dan tidak boleh negatif. Area yang diizinkan terbatas pada kuadran pertama, tepatnya pada atau di bawah garis pembatas tersebut.
Grafik di atas memperlihatkan wilayah penyelesaian di kuadran positif beserta titik uji yang berupa pasangan bilangan bulat pada garis pembatas:
Titik sudut sumbu: $(8, 0)$ dan $(0, 6)$.
Titik bilangan cacah lain yang tepat berada pada garis pembatas: saat $x = 4$, diperoleh $3(4) + 4y = 24 \implies 4y = 12 \implies y = 3$, yaitu titik $(4, 3)$.
Diberikan pertidaksamaan kendala 2x + 5y <= 20 dengan x dan y merupakan bilangan cacah. Tentukan kebenaran dari masing-masing pernyataan berikut:
- Nilai y terbesar yang mungkin dipilih adalah 4 saat titik x = 0. — Benar
- Nilai x terbesar yang mungkin dipilih adalah 20 saat titik y = 0. — Salah
Pernyataan 1 Benar: jika x = 0, maka 5y = 20 sehingga y = 4 (bilangan cacah). Pernyataan 2 Salah: jika y = 0, maka 2x = 20 sehingga batas x adalah 10, bukan 20.
Menguji penentuan titik batas sumbu dari suatu pertidaksamaan program linear.
Uji dan Buktikan (Eksekusi Akhir)
Peluang terbesar selalu muncul dari titik-titik ujung (sudut) pembatas, sehingga kita cukup memasukkannya secara beruntun ke fungsi sasaran. Kita telah mengidentifikasi titik uji yang berupa pasangan bilangan cacah pada batas wilayah, yaitu $(8, 0)$, $(4, 3)$, dan $(0, 6)$.
Sekarang, kita substitusikan masing-masing koordinat ke dalam fungsi objektif $Z = 5x + 2y$:
Ketika kita bandingkan hasil ketiga perhitungan tersebut:
$$12 < 26 < 40$$
Nilai terbesar yang diperoleh adalah $40$, yang dicapai saat $x = 8$ dan $y = 0$. Hasil ini membuktikan pemikiran awal kita: karena koefisien $x$ bernilai jauh lebih besar ($5$) daripada koefisien $y$ ($2$), mengalokasikan seluruh batas ke variabel $x$ menghasilkan skor maksimum.