Vieta & Ilusi Aljabar: Mengurai Akar Persamaan

Membongkar Ilusi Eksponen

Pernahkah kamu menebak bahwa $(m+n)^2$ hasilnya adalah $m^2 + n^2$? Kalau iya, kamu nggak sendirian! Kesalahan ini sangat umum sampai-sampai matematikawan punya julukan khusus buat itu: "Freshman's Dream" (Mimpinya Mahasiswa Baru). Sayangnya, di dunia nyata matematika, eksponen nggak bisa langsung didistribusikan ke dalam penjumlahan.

Bayangkan sebuah persegi besar yang panjang sisinya $(m+n)$. Luas total persegi ini pastinya $(m+n)^2$. Sekarang, coba kita potong-potong persegi besar tersebut.

Dari visual di atas, persegi besar terbagi jadi empat bagian:

Jadi, luas total $(m+n)^2$ sebenarnya adalah $m^2 + n^2 + 2mn$.

Nah, dari penemuan ini, kita dapat satu identitas aljabar penting. Kalau kita cuma butuh bentuk $m^2 + n^2$ (seperti di soal), kita tinggal pindah ruas: $m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$

Bentuk inilah yang jadi jembatan emas buat ngerjain soal kita nanti!

Berdasarkan visualisasi persegi tadi, mengapa nilai $(m+n)^2$ tidak sama dengan $m^2 + n^2$?

  • A. Karena nilai eksponen harus dikalikan ke setiap suku secara merata.
  • B. Karena (m+n)^2 hanya berlaku untuk bilangan bulat, bukan variabel.
  • C. Karena ada tambahan 'area' sebesar 2mn ketika menjabarkan (m+n)(m+n).
  • D. Karena m^2 + n^2 selalu lebih besar daripada (m+n)^2.

Jawaban: C. Karena ada tambahan 'area' sebesar 2mn ketika menjabarkan (m+n)(m+n).

Penjabaran (m+n)^2 adalah (m+n)(m+n) = m^2 + mn + mn + n^2 = m^2 + n^2 + 2mn. Ada suku tambahan 2mn yang sering terlupakan (Freshman's Dream).

Kuadrat dari penjumlahan dua suku (m+n)^2 selalu menghasilkan jumlah kuadrat masing-masing suku ditambah 2 kali hasil kali kedua suku.

Teorema Vieta: DNA Polinomial

Kalau identitas aljabar tadi adalah jembatannya, sekarang kita butuh bahan bakunya: nilai $(m+n)$ dan $mn$. Dari mana kita dapetnya? Jawabannya ada di dalam persamaan kuadrat itu sendiri.

Persamaan kuadrat nggak cuma sekadar susunan angka $ax^2 + bx + c = 0$. Angka-angka ini (koefisien) sebenarnya menyimpan "DNA" dari akar-akarnya. Hubungan ini diungkapkan secara elegan lewat Teorema Vieta.

Mari kita bongkar dari akarnya. Kalau persamaan punya akar $m$ dan $n$, persamaan itu pasti berasal dari: $(x - m)(x - n) = 0$

Kalau kita kalikan silang (ekspansi), bentuknya jadi: $x^2 - mx - nx + mn = 0$ $x^2 - (m+n)x + mn = 0$

Sekarang, coba sejajarkan dengan bentuk umum yang depannya udah dibagi $a$ (jadi $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$):

Cocokkan posisinya! Koefisien di tengah ternyata adalah negatif dari jumlah akar, dan konstanta di belakang adalah hasil kali akar. Inilah inti Teorema Vieta:

Dengan Vieta, kita bisa tahu jumlah dan hasil kali akar tanpa perlu capek-capek nyari nilai akar $m$ dan $n$ aslinya!

Tentukan kebenaran pernyataan berikut mengenai Teorema Vieta untuk persamaan kuadrat berawalan x^2!

  • Untuk persamaan x^2 - 7x + 10 = 0, hasil kali akar-akarnya adalah 10. — Benar
  • Jika akar-akarnya adalah 2 dan 5, maka koefisien x pada persamaan (dengan a=1) adalah 7. — Salah
  • Jumlah akar-akar selalu berlawanan tanda dengan koefisien x (jika a=1). — Benar

Pada x^2 - 7x + 10 = 0, jumlah akarnya adalah -(-7) = 7, dan hasil kalinya adalah 10. Jika akar 2 dan 5, jumlahnya 7 (berlawanan tanda dengan koefisien x yaitu -7).

Koefisien x adalah negatif jumlah akar, dan konstanta adalah hasil kali akar pada persamaan x^2 + Bx + C = 0.

Menyatukan Kepingan Puzzle

Sekarang kita udah punya dua alat sakti:

  1. Identitas aljabar: $m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$

  2. Teorema Vieta: $(m+n) = -\frac{B}{A}$ dan $mn = \frac{C}{A}$

Mari kita satukan alat ini ke soal kita: $x^2 + (b+1)x - 8 = 0$. Di sini, koefisiennya adalah $A = 1$, $B = (b+1)$, dan $C = -8$. (Hati-hati, $b$ di sini adalah parameter soal, jangan tertukar dengan rumus umum!)

Langkah pertama, cari bahan bakunya pakai Vieta:

Langkah kedua, masukkan ke identitas aljabar. Soal bilang jumlah kuadrat akarnya adalah $41$, jadi $m^2 + n^2 = 41$.

Dari sini, teka-teki akar polinomial berubah jadi persamaan kuadrat biasa dalam variabel $b$: $41 = (-(b+1))^2 - 2(-8)$ $41 = (b+1)^2 + 16$

Kalau kita jabarkan dan pindah ruas, kita dapat: $b^2 + 2b - 24 = 0$