Teorema Sisa: Visualisasi Ketinggian Kurva

Makna Visual Teorema Sisa

Nilai polinomial pada suatu titik sama persis dengan sisa pembagiannya oleh faktor linear titik tersebut.

Dalam aljabar, setiap operasi pembagian polinomial $P(x)$ dapat dituliskan ke dalam bentuk kesamaan dasar:

$$P(x) = (\text{Pembagi} \times \text{Hasil}) + \text{Sisa}$$

Jika kita memilih nilai $x$ yang merupakan pembuat nol dari pembagi, suku $(\text{Pembagi} \times \text{Hasil})$ otomatis bernilai nol dan lenyap seketika. Akibatnya, nilai fungsi $P(x)$ di koordinat tersebut tepat sama dengan nilai sisanya. Prinsip inilah yang dikenal sebagai Teorema Sisa.

Secara grafik, bayangkan fungsi polinomial sebagai lintasan roller coaster yang naik turun di bidang koordinat. Membagi polinomial dengan bentuk linear $(x - c)$ setara dengan mengecek ketinggian lintasan roller coaster tepat di titik $x = c$. Sisa pembagian adalah nilai vertikal (ordinat $y$) dari kurva tersebut.

Pada data soal, $P(x)$ dibagi oleh $(x^2 + 2x - 3) = (x + 3)(x - 1)$ dan bersisa $(4x + 1)$. Karena pembagi kuadratik ini memiliki faktor $(x - 1)$ dengan pembuat nol $x = 1$, kita bisa mencari nilai $P(1)$ langsung dengan mengevaluasi sisanya:

$$P(1) = 4(1) + 1 = 5$$

Kita tidak perlu bersusah payah mencari bentuk utuh dari fungsi $P(x)$ hanya untuk mengetahui ketinggian lintasannya di koordinat $x = 1$.

Beda Sisa dan Faktor

Suatu bentuk linear hanya diakui sebagai faktor polinomial jika dan hanya jika sisa pembagiannya adalah nol.

Dalam pembagian bilangan bulat maupun suku banyak, istilah faktor berarti membagi habis tanpa meninggalkan sisa apa pun. Jika pembagian masih menyisakan nilai bukan nol, pembagi tersebut bukanlah faktor.

Jika kita kembali ke analogi lintasan roller coaster, kurva yang memiliki faktor linear $(x - c)$ adalah kurva yang jalurnya pas menyentuh tanah alias memotong tepat pada sumbu-X di titik $x = c$. Di titik potong tersebut, ketinggian kurva bernilai nol ($y = 0$). Sebaliknya, jika kurva masih melayang di atas atau berada di bawah tanah, ketinggiannya tidak nol.

Mari kita evaluasi Opsi C dari soal: "P(x) tidak memiliki faktor linear (x - 1)".

1. Berdasarkan perhitungan Teorema Sisa sebelumnya, $P(1) = 5$.

2. Karena $P(1) = 5 \neq 0$, kurva melayang setinggi $5$ satuan di atas sumbu-X dan tidak menyentuh tanah di $x = 1$.

3. Maka $(x - 1)$ jelas bukan faktor dari $P(x)$.

Dengan demikian, pernyataan pada Opsi C bernilai Benar.

Merakit Sisa dari Dua Titik

Sisa pembagian oleh fungsi kuadrat dapat dicari dengan memodelkannya sebagai garis lurus $ax + b$ menggunakan dua titik dari Teorema Sisa.

Derajat sisa pembagian selalu lebih kecil dari derajat pembaginya. Ketika pembagi berbentuk fungsi kuadrat (derajat 2), sisa pembagian maksimal berderajat 1, yang grafiknya berupa garis lurus:

$$S(x) = ax + b$$

Untuk menentukan sebuah garis lurus, kita memerlukan koordinat dari dua titik ketinggian lintasan. Informasi ini diperoleh dari nilai-nilai pembuat nol pembagi.

Mari kita periksa seluruh pernyataan pada soal:

Evaluasi Opsi A: Dari pembagi pertama $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ dengan sisa $3x + 5$:

• Untuk pembuat nol $x = 2$, diperoleh $P(2) = 3(2) + 5 = 11$.

• Untuk pembuat nol $x = -1$, diperoleh $P(-1) = 3(-1) + 5 = 2$.

Dari pembagi kedua $x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$ dengan sisa $4x + 1$:

• Untuk pembuat nol $x = 1$, diperoleh $P(1) = 4(1) + 1 = 5$.

Pernyataan pada Opsi A menyatakan bahwa $P(2) + P(1) = 16$.

$$P(2) + P(1) = 11 + 5 = 16$$

Pernyataan Opsi A bernilai Benar.

Evaluasi Opsi B: Opsi B menanyakan sisa pembagian $P(x)$ oleh $(x - 1)(x + 1)$ dan menyebutkan hasilnya adalah $x + 6$. Pembagi $(x - 1)(x + 1)$ memiliki dua pembuat nol, yaitu $x = 1$ dan $x = -1$. Misalkan sisa pembagiannya adalah $S(x) = ax + b$:

1. Untuk $x = 1 \implies S(1) = a(1) + b = P(1) \implies a + b = 5$

2. Untuk $x = -1 \implies S(-1) = a(-1) + b = P(-1) \implies -a + b = 2$

Kita selesaikan sistem persamaan ini:

• Menjumlahkan kedua persamaan: $(a + b) + (-a + b) = 5 + 2 \implies 2b = 7 \implies b = \frac{7}{2}$

• Mencari nilai $a$: $a = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$

Maka persamaan sisa sebenarnya adalah $S(x) = \frac{3}{2}x + \frac{7}{2}$, bukan $x + 6$. Oleh karena itu, pernyataan Opsi B bernilai Salah.